Lernzettel: Trigonométrie dans le triangle rectangle

📋 Plan du Cours

1. Triangle rectangle et trigonométrie
2. Cosinus, sinus et tangente
3. Mesure d’un angle aigu
4. Longueur d’un côté

📖 1. Triangle rectangle et trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangle rectangle : Triangle ayant un angle droit, qui permet d’identifier clairement hypoténuse et deux côtés de l’angle aigu.
• Hypoténuse : Côté opposé à l’angle droit, c’est le plus long et il intervient dans cosinus et sinus.
• Côté adjacent : Côté qui touche l’angle aigu considéré mais n’en est pas l’hypoténuse.
• Côté opposé : Côté situé en face de l’angle aigu considéré.

📝 Points essentiels

• Dans un triangle rectangle ABC rectangle en A, l’hypoténuse est le côté BC et les côtés de l’angle droit sont AB et AC.
• Pour un angle aigu, le côté adjacent et le côté opposé dépendent de l’angle choisi, alors que l’hypoténuse reste le même côté du triangle.
• Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont compris entre 0 et 1 car l’adjacent et l’opposé sont tous deux inférieurs à l’hypoténuse.
• La tangente d’un angle aigu est un nombre positif strictement supérieur à 0.

💡 Astuce mémo

Hypoténuse = Toujours en face de l’angle droit ; adjacent touche l’angle aigu ; opposé est en face de l’angle aigu.

📖 2. Cosinus, sinus et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus d’un angle aigu : Rapport entre le côté adjacent à l’angle aigu et l’hypoténuse.
• Sinus d’un angle aigu : Rapport entre le côté opposé à l’angle aigu et l’hypoténuse.
• Tangente d’un angle aigu : Rapport entre le côté opposé à l’angle aigu et le côté adjacent.
• Valeurs 0 à 1 : Encadrement des rapports de cosinus et sinus pour un angle aigu dans un triangle rectangle.

📝 Points essentiels

• Pour un triangle ABC rectangle en A, cos(∠ABC)=AB/BC.
• Pour un triangle ABC rectangle en A, sin(∠ABC)=AC/BC.
• Pour un triangle ABC rectangle en A, tan(∠ABC)=AC/AB.
• Si cos(angle)=5/8 alors l’angle vaut Arc cos(5/8) et on obtient environ 51,3°.

💡 Astuce mémo

cos = adjacent/hyp, sin = opposé/hyp, tan = opposé/adj : même numérateur pour sin et tan, mais pas la même base.

📖 3. Mesure d’un angle aigu

🔑 Notions clés & Définitions

• Arc sin : Fonction inverse du sinus qui permet de retrouver l’angle à partir d’un sinus connu.
• Arc tan : Fonction inverse de la tangente qui permet de retrouver l’angle à partir d’une tangente connue.
• Arc cos : Fonction inverse du cosinus qui permet de retrouver l’angle à partir d’un cosinus connu.

📝 Points essentiels

• Dans un exercice, si sin(B)=2/5=0,4 alors B=Arc sin(0,4) et on trouve environ 23,6°.
• Si tan(D)=7/3 alors D=Arc tan(7/3) et on trouve environ 66,8°.
• Si cos(G)=5/8 alors G=Arc cos(5/8) et on trouve environ 51,3°.
• Pour finir la mesure en degrés, on arrondit ensuite l’angle au dixième en utilisant la calculatrice.

💡 Astuce mémo

Inverse puis arrondis : Arc sin pour un sinus, Arc tan pour une tangente, Arc cos pour un cosinus.

📖 4. Longueur d’un côté

🔑 Notions clés & Définitions

• Calcul d’un côté avec cosinus : Méthode où l’on isole un côté à l’aide de cos(angle)=adjacent/hypoténuse.
• Calcul d’un côté avec sinus : Méthode où l’on isole un côté à l’aide de sin(angle)=opposé/hypoténuse.
• Calcul d’un côté avec tangente : Méthode où l’on isole un côté à l’aide de tan(angle)=opposé/adjacent.
• Arrondis demandés : Règles d’arrondi spécifiques indiquées pour chaque exercice de longueur.

📝 Points essentiels

• Exercice KLM rectangle en K : avec KL=4 cm et KLM=30°, on obtient MK=4·tan(30°)=4·(√3/3)≈2,30 cm.
• Exercice EFG rectangle en G : avec EF=6 cm et FEG=75°, on calcule EG=6·cos(75°) et on trouve environ 1,6 cm.
• Exercice RST rectangle en R : avec RT=5,5 cm et RST=50°, on utilise sin(S)=opposé/hypoténuse et on obtient TS=RT/sin(50°)≈7,17 cm.
• Exercice HIJ rectangle en I : avec HJ=4 cm et IHJ=40°, on utilise IJ=HJ·sin(40°) et on trouve environ 2,6 cm.

💡 Astuce mémo

Angle connu + triangle rectangle : cos → côté adjacent ou hyp, sin → côté opposé ou hyp, tan → opposé ou adjacent.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre adjacent et opposé : changer l’angle aigu considéré inverse les deux rapports.
2. Oublier que l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit : des formules deviennent fausses si on ne garde pas le bon côté.
3. Utiliser tan comme si c’était opposé/hypoténuse au lieu de opposé/adjacent.
4. Prendre Arc sin, Arc cos ou Arc tan au mauvais type de valeur (par exemple appliquer Arc cos à un sinus).
5. Se tromper dans la résolution : quand on veut une longueur, il faut isoler le bon côté (multiplier ou diviser) et pas seulement remplacer la définition.
6. Mauvais arrondi : chaque exercice impose un arrondi différent (au centième, au dixième, etc.), ce qui peut changer la réponse.

✅ Checklist Examen

1. Identifier l’hypoténuse et, pour un angle aigu donné, les côtés adjacent et opposé dans un triangle rectangle.
2. Écrire cos(angle)=adjacent/hypoténuse pour un triangle rectangle et savoir quel côté devient numérateur.
3. Écrire sin(angle)=opposé/hypoténuse pour un triangle rectangle et savoir quel côté devient numérateur.
4. Écrire tan(angle)=opposé/adjacent pour un triangle rectangle et savoir quel côté devient numérateur.
5. Calculer une valeur de cosinus, sinus ou tangente quand deux longueurs sont données.
6. Convertir une valeur de cosinus, sinus ou tangente en mesure d’angle avec la bonne fonction inverse (Arc cos, Arc sin, Arc tan).
7. Arrondir la mesure d’un angle aigu au dixième demandé quand une consigne d’arrondi est donnée.
8. Calculer une longueur manquante à partir d’un angle aigu et d’une longueur connue en isolant la bonne longueur via cos, sin ou tan.
9. Savoir effectuer un calcul numérique de longueur avec les exemples : MK≈2,30 cm, EG≈1,6 cm, TS≈7,17 cm, IJ≈2,6 cm.
10. Respecter l’arrondi exigé pour chaque exercice de longueur (centième ou dixième par excès).