Lernzettel: Trigonométrie dans le triangle rectangle

📋 Plan du Cours

1. Cosinus dans le triangle rectangle
2. Calculer un angle avec le cosinus
3. Calculer une longueur avec le cosinus
4. Formules de trigonométrie
5. Calculs avec cosinus, sinus et tangente

📖 1. Cosinus dans le triangle rectangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypoténuse : L’hypoténuse est le côté le plus long d’un triangle rectangle, situé en face de l’angle droit.
• Côté adjacent à un angle : Le côté adjacent à un angle d’un triangle rectangle est le côté qui touche l’angle et n’est pas l’hypoténuse.
• Cosinus : Le cosinus d’un angle dans un triangle rectangle est le quotient du côté adjacent par l’hypoténuse.

📝 Points essentiels

• Dans un triangle rectangle, on utilise $\cos(\text{angle})=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.
• Le cosinus ne s’applique jamais à l’angle droit.
• Le cosinus d’un angle est un nombre sans unité, compris entre 0 et 1.
• Exemple : si $\cos(B)=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{12}{13}$, alors $\cos(B)\approx 0{,}92$.

💡 Astuce mémo

ADJ/HYP : le cosinus, c’est le quotient côté adjacent sur hypoténuse.

📖 2. Calculer un angle avec le cosinus

🔑 Notions clés & Définitions

• Mode degré : Le mode degré règle la calculatrice pour que les angles soient calculés en degrés.
• Calcul d’angle par cosinus : Calculer un angle par cosinus consiste à former un rapport adjacent sur hypoténuse puis à utiliser $\arccos$.

📝 Points essentiels

• Pour trouver un angle avec le cosinus, ta calculatrice doit être en MODE DEG.
• Dans le triangle donné, $\cos(B) = \dfrac{BA}{BC}=\dfrac{3}{7}$ donne $B\approx 64{,}6^\circ$ au dixième de degré près.

💡 Astuce mémo

Si tu connais adjacent/hypoténuse, cherche l’angle avec $\arccos$.

📖 3. Calculer une longueur avec le cosinus

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypoténuse inconnue : Quand l’hypoténuse est inconnue, l’équation $\cos(\text{angle})=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ sert à isoler la longueur.
• Isoler une longueur : Isoler une longueur consiste à transformer la relation de trigonométrie pour mettre la longueur seule d’un côté de l’égalité.

📝 Points essentiels

• Pour calculer une longueur avec le cosinus, tu utilises $\cos(\text{angle})=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ puis tu isoles la longueur cherchée.
• Avec $\cos(53^\circ)=\dfrac{JK}{JI}$, on obtient $JI=1$ puis $JK=6\times\cos(53^\circ)$ et $JK\approx 3{,}61$ au centième.

💡 Astuce mémo

Avec le cosinus : multiplier par l’hypoténuse (ou diviser selon ce qui est inconnu) pour isoler la longueur.

📖 4. Formules de trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Sinus : Le sinus d’un angle dans un triangle rectangle est le quotient du côté opposé par l’hypoténuse.
• Tangente : La tangente d’un angle dans un triangle rectangle est le quotient du côté opposé par le côté adjacent.

📝 Points essentiels

• Dans un triangle rectangle : $\cos(\text{angle})=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.
• Dans un triangle rectangle : $\sin(\text{angle})=\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$.
• Dans un triangle rectangle : $\tan(\text{angle})=\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$.

💡 Astuce mémo

SOH-CAH-TOA : opposé/hypoténuse (sin), adjacent/hypoténuse (cos), opposé/adjacent (tan).

📖 5. Calculs avec cosinus, sinus et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Choix de la fonction trigonométrique : Le choix de $\cos$, $\sin$ ou $\tan$ dépend des côtés donnés : adjacent/hypoténuse, opposé/hypoténuse ou opposé/adjacent.

📝 Points essentiels

• Pour trouver un angle avec la tangente, on part du rapport opposé/adjacent : dans le triangle rectangle en C, $\tan(AM)=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{3}{7}$ et $AM\approx 23^\circ$ au degré près.
• Pour trouver une longueur avec le sinus, tu relies l’hypoténuse inconnue au côté opposé connu : $\sin(29^\circ)=\dfrac{HC}{AC}$ puis $AC=\dfrac{HC}{\sin(29^\circ)}$.
• Dans l’exercice, $HC=3{,}4$ et $\sin(29^\circ)=\dfrac{3{,}4}{AC}$ donnent $AC\approx 7\,\text{cm}$.

💡 Astuce mémo

Repère les côtés donnés : adjacent/hypoténuse → cos, opposé/hypoténuse → sin, opposé/adjacent → tan.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Utiliser $\cos$ sur l’angle droit alors que la formule du triangle rectangle ne s’y applique pas.
2. Mélanger adjacent et opposé : un rapport faux donne un angle ou une longueur incohérent.
3. Oublier le mode DEG sur la calculatrice, ce qui change totalement les valeurs en degrés.
4. Confondre le nombre de cosinus (sans unité) avec une longueur : $\cos(\text{angle})$ n’a pas d’unité.
5. Choisir la mauvaise fonction : avec les côtés opposé et hypoténuse, il faut utiliser le sinus et pas le cosinus.
6. Arrondir trop tôt : garder $\cos$ ou $\sin$ avant de calculer la valeur finale pour respecter le niveau d’arrondi demandé.

✅ Checklist Examen

1. Identifier l’hypoténuse dans un triangle rectangle (côté en face de l’angle droit).
2. Écrire correctement $\cos(\text{angle})=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.
3. Choisir de ne pas appliquer le cosinus à l’angle droit.
4. Calculer un cosinus à partir d’un quotient de côtés (adjacent/hypoténuse).
5. Trouver un angle à partir d’un cosinus en utilisant $\arccos$ en mode DEG.
6. Indiquer le niveau d’arrondi demandé pour une mesure d’angle (ex : au dixième ou au degré près).
7. Isoler une longueur dans l’équation du cosinus pour obtenir la valeur numérique.
8. Savoir écrire $\sin(\text{angle})=\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$.
9. Savoir écrire $\tan(\text{angle})=\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$.
10. Choisir la fonction trigonométrique adaptée aux côtés donnés (SOH-CAH-TOA).
11. Calculer un angle à l’aide de la tangente à partir d’un rapport opposé/adjacent.
12. Calculer une longueur à l’aide du sinus puis donner le résultat avec l’arrondi attendu (ex : au centième ou à la dizaine de cm selon l’énoncé).