Lernzettel: Trinômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition du trinôme
2. Forme canonique et parabole
3. Discriminant et racines
4. Factorisation selon le discriminant
5. Signe du trinôme
6. Méthodes et formules essentielles

📖 1. Définition du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont des réels avec a ≠ 0.

📝 Points essentiels

• Les réels a, b et c sont appelés les coefficients du trinôme.

• Dans $2x^2-3x+5$, les coefficients sont a=2, b=−3 et c=5, tandis qu’une expression sans terme en x² n’est pas un trinôme du second degré.

📖 2. Forme canonique et parabole

★ À maîtriser

📌 La forme développée d’un trinôme est $f(x)=ax^2+bx+c$, tandis que sa forme canonique est $f(x)=a(x-α)^2+β$.

📐 Formule — Pour la forme canonique, $α=-\frac{b}{2a}$ et $β=f(α)$, avec aussi $β=-\frac{Δ}{4a}$.

• La courbe représentative d’un trinôme est une parabole de sommet S(α ; β), tournée vers le haut si a>0 et vers le bas si a<0.

Compléments

• Pour mettre un trinôme sous forme canonique, on calcule α, puis β=f(α), puis on écrit $f(x)=a(x-α)^2+β$.

💡 Astuce mémo

Visualiser la parabole avec son sommet S(α ; β), tournée vers le haut ou vers le bas.

📖 3. Discriminant et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Nombre réel $Δ=b^2-4ac$ associé au trinôme $ax^2+bx+c$, avec a ≠ 0.

📝 Points essentiels

📌 Si Δ**>0**, l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet deux racines réelles distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}$.

📌 Si Δ=0, l’équation admet une racine réelle double $x_0=-\frac{b}{2a}$.

📌 Si Δ<0, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’admet aucune racine réelle.

💡 Astuce mémo

Δ>0 donne deux racines, Δ=0 une racine double, Δ<0 aucune racine réelle.

📖 4. Factorisation selon le discriminant

★ À maîtriser

📌 Si Δ>0 et si x₁ et x₂ sont les deux racines, alors $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

📌 Si Δ=0 et si x₀ est la racine double, alors $f(x)=a(x-x_0)^2$.

Compléments

📌 Si Δ<0, le trinôme ne peut pas se factoriser dans ℝ.

• Le trinôme $2x^2-7x+3$ se factorise en $2(x-\frac12)(x-3)$, et $x^2-6x+9$ se factorise en $(x-3)^2$.

💡 Astuce mémo

Racines réelles → produit de facteurs ; aucune racine réelle → pas de factorisation dans ℝ.

📖 5. Signe du trinôme

★ À maîtriser

📌 Si Δ<0, le trinôme f(x) est du signe de a pour tout x∈ℝ.

📌 Si Δ=0, f(x) est du signe de a pour tout x≠x₀ et f(x₀)=0.

📌 Si Δ>0 et x₁<x₂, f(x) est du signe de a à l’extérieur des racines, du signe opposé à a entre les racines, et nul en x₁ et x₂.

Compléments

• Pour résoudre $-x^2+4x-3>0$, les racines sont 1 et 3 et, comme a=−1<0, la solution est x∈]1 ; 3[.

💡 Astuce mémo

À l’extérieur des racines, le trinôme suit le signe de a ; entre elles, il prend le signe opposé.

📖 6. Méthodes et formules essentielles

★ À maîtriser

• Pour étudier le signe d’un trinôme, on identifie a, b et c, on calcule Δ, on détermine les racines si Δ≥0, puis on dresse le tableau de signes et on conclut.

📐 Formule — Les trois formules fondamentales sont $Δ=b^2-4ac$, $x_0=-\frac{b}{2a}$ lorsque Δ=0, et $f(x)=a(x-α)^2+β$ pour la forme canonique.

Compléments

📌 Avant d’appliquer les formules, il faut toujours vérifier que a≠0 et rechercher une éventuelle factorisation évidente, comme un facteur commun ou une identité remarquable.

💡 Astuce mémo

Identifier a,b,c → calculer Δ → trouver les racines → étudier le signe.

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant et étude du trinôme

Condition	Racines	Factorisation	Signe
Δ>0	Deux racines distinctes x₁<x₂	$a(x-x_1)(x-x_2)$	Signe de a hors des racines, signe opposé entre elles
Δ=0	Une racine double x₀	$a(x-x_0)^2$	Signe de a partout sauf en x₀
Δ<0	Aucune racine réelle	Pas de factorisation dans ℝ	Signe de a sur ℝ