Analyse Appliquée en Espaces Normés

1. 📌 L'essentiel

• Norme : fonction ||.|| : E → R+ vérifiant séparation, homogénéité, triangle.
• Espace de Banach : espaceiel complet, suite de Cauchy converge.
• Applications continues : inverse image des ouverts fermée, invariance par normes équivalentes.
• Applications linéaires continues : |||f||| = ||f(x)||/||x||, bornitude équivaut à continuité.
• Différentiabilité : existence d’une différentielle La, limite de εa(x) → 0.
• Formule de Taylor : développement local à l’ordre p + o(||h||^p).
• Critères d’extrema : dérivées nulles, Hessienne positive ou négative pour extrema liés.
• Théorème du point fixe : contraction dans un espace de Banach, convergence quadratique.
• Méthode de Newton : x_{k+1} = x_k − (dxf(x_k))^{-1}f(x_k), convergence locale quadratique.
• Dérivées partielles : ∂f/∂xj en dimension finie, lien avec la différentielle.
• Symétrie Schwarz : ∂²f/∂xj∂xk = ∂²f/∂xk∂xj.
• Hessienne : matrice des dérivées secondes, critère d’extrema.