Analyse des fonctions quadratiques

1. 📌 L'essentiel

• Fonction quadratique : $f(x) = ax^2 + bx + c$, avec $a \neq 0$.
• La courbeative est une parabole symétrique.
• Parabole tournée vers le haut si $a > 0$, vers le bas si $a < 0$.
• Sommet point d’extremum, coordonnées $(x_0, f(x_0))$ avec $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
• Racines : solutions de $ax^2 + bx + c = 0$, discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.
• Racines réelles si $\Delta \geq 0$, doubles si $\Delta = 0$.
• Forme factorisée : $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, avec racines $x_1, x_2$.
• Axe de symétrie : $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$.
• Signe : positive si $a > 0$ en dehors des racines, négative entre racines.
• La valeur en sommet : $f(x_0) = -\frac{\Delta}{4a}$ si $\Delta \geq 0$.

2. 🧩 Structures & Composants clés

• Coefficient $a$ — détermine l’ouverture et la concavité de la parabole.
• Racines $x_1, x_2$ — points où la courbe coupe l’axe des abscisses.
• Sommet $(x_0, f(x_0))$ — point d’extremum (minimum ou maximum).
• Discriminant $\Delta$ — indique le nombre de racines réelles.
• Forme factorisée — expression avec racines explicites.
• Axe de symétrie — ligne verticale passant par le sommet.