Analyse des variations et symétries des fonctions

1. 📌 L'essentiel

• Fonction définie sur un intervalle : $f : I \to \mathbb{R}$
• Fonction croissante : si $a \leq b$, alors $f(a) \leq f(b)$
• Fonction décroissante : si $a \leq b$, alors $f(a \geq f(b)$
• Méthode d'étude : comparer $f(a)$ et $f(b)$ via $f(a) - f(b)$
• Fonction paire : $f(-x) = f(x)$, symétrie axe des ordonnées
• Fonction impaire : $f(-x) = -f(x)$, symétrie origine
• Exemple : $f(x) = x^2$, paire, parabole, minimum en 0
• Variations de $f(x) = x^2$ : décroissante sur $]-\infty, 0]$, croissante sur $[0, +\infty[$
• La croissance ou décroissance se déduit du signe de $f(a) - f(b)$
• La symétrie permet d'identifier rapidement le comportement graphique

2. 🧩 Structures & Composants clés

• Fonction : règle associant chaque $x$ à une valeur $f(x)$
• Symétries :
  • Paire : $f(-x) = f(x)$
  • Impaire : $f(-x) = -f(x)$
• Courbe de $f(x) = x^2$ : parabole, sommet en $(0,0)$
• Intervalle de variation :
  • Croissante : $f$ augmente quand $x$ augmente
  • Décroissante : $f$ diminue quand $x$ augmente
• Minimum local : point où $f$ atteint sa plus petite valeur locale
• Point critique : $x$ où $f'(x) = 0$ ou non défini, souvent sommet ou extremum