Analyse du second degré et parabole

📋 Plan du Cours

1. Forme canonique et discriminant
2. Résolution des équations du second degré
3. Racines et factorisation du trinôme
4. Signe d'un polynôme du second degré
5. Parabole et axe de symétrie

📖 1. Forme canonique et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du second degré : Un polynôme du second degré est une fonction de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme $ax^2+bx+c$ est l’écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec des réels $\alpha$ et $\beta$.
• Discriminant : Le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ caractérise l’existence et le nombre de racines réelles d’un trinôme.

📝 Points essentiels

• Pour tout $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$, il existe $\alpha$ et $\beta$ tels que $ax^2+bx+c=a(x-\alpha)^2+\beta$.
• On a toujours $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=-\dfrac{\Delta}{4a}$ avec $\Delta=b^2-4ac$.
• On a la relation d’évaluation $f(\alpha)=\beta$ pour le passage à la forme canonique.
• Si $\Delta<0$, l’expression $(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$ impose une impossible égalité entre un carré et un réel négatif.

💡 Astuce mémo

Carré complet : $\alpha=-\frac{b}{2a}$ centre la parabole et $\Delta$ décide le nombre de solutions.

📖 2. Résolution des équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Une équation du second degré est une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$.

📝 Points essentiels