★ À maîtriser
📐 Formule — Pour deux fonctions dérivables u et v sur [a ; b], on a ∫ₐᵇ u′(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u(x)v′(x) dx.
🔄 Processus — Pour intégrer par parties, on choisit comme facteur à dériver celui dont la dérivée simplifie l’expression, puis on intègre l’autre facteur.
Compléments
L’intégrale ∫₀^(π/2) x sin(x) dx vaut 1.
L’intégrale ∫₀^(π/2) x² cos(x) dx se calcule par une double intégration par parties et vaut π²/4 − 2.
Dériver un facteur, intégrer l’autre
★ À maîtriser
📌 Si 0 ≤ f(x) ≤ g(x) sur [a ; b], l’aire comprise entre les courbes de f et de g vaut ∫ₐᵇ g(x) dx − ∫ₐᵇ f(x) dx, soit ∫ₐᵇ [g(x) − f(x)] dx.
Compléments
📐 Formule — Par linéarité de l’intégrale, la différence des intégrales peut être regroupée en une seule intégrale : ∫ₐᵇ g(x) dx − ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ [g(x)−f(x)] dx.
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1. Pour deux fonctions dérivables u et v sur [a ; b], quelle relation exprime correctement l’intégrale de u'(x)v(x) ?
2. Quelle est la formule de l'intégration par parties pour deux fonctions dérivables u et v sur [a ; b] ?
3. Lorsqu’on applique l’intégration par parties à une expression, quel principe guide le choix du facteur à dériver pour faciliter le calcul ?
Quelle est la formule d'intégration par parties pour u et v dérivables ?
∫ₐᵇ u′(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u(x)v′(x) dx.
Intégration par parties méthode
Choisir facteur à dériver, puis intégrer l'autre.
Comment choisit-on le facteur à dériver en intégration par parties ?
On dérive le facteur dont la dérivée simplifie l'expression.
Aire entre deux courbes
∫ₐᵇ [g(x)−f(x)] dx, si 0 ≤ f ≤ g.
Quelle est la formule de l'aire entre deux courbes f et g sur [a ; b] si 0 ≤ f(x) ≤ g(x) ?
L'aire est ∫ₐᵇ [g(x) − f(x)] dx.
Valeur moyenne d'une fonction
∫ₐᵇ f(x) dx / (b−a).
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