Construction des Nombres Réels

##1. 📌 L'essentiel

• Les nombres réels (R) se construisent via les coupures de Dedekind, partition de Q en deux ensembles sans plus grand élément dans le premier.
• R est un corps totalement ordonné, complet : toute partie non vide admet une borne supérieure.
• La valeur absolue |x| = max(x, −x), propriétés fondamentales (symétrie, inégalité triangulaire).
• Les intervalles sont des ensembles de R vérifiant : ∀a, b ∈ I, ∀x, a ≤ x ≤ b.
• La partie entière E(x) est unique : E(x) ≤ x < E(x)+1.
• La densité de Q dans R : tout intervalle ouvert non vide contient un rationnel.
• La borne supérieure (sup) d’un ensemble A : le plus petit majorant de A.
• Non-existence de borne sup dans Q pour A = {x | x² ≤ 2}.
• Théorème : toute partie majorée de R possède une borne supérieure.
• La propriété archimédienne : pour tout x, il existe n ∈ N tel que n > x.