Fonctions du second degré et trigonométrie

📌 L'essentiel

• Une fonction du second degré s’écrit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$.
• La parabole est la courbe représentative de cette fonction.
• La forme canonique $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ met en évidence le sommet.
• Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ permet de connaître le nombre de solutions réelles de l’équation $f(x) = 0$.
• Le sommet de la parabole est au point $(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$.
• La parabole est symétrique par rapport à l’axe vertical passant par ce sommet.
• La variation de la fonction dépend du signe de $a$: croissante ou décroissante.
• La résolution d’une équation quadratique se fait via la formule $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.

📖 Concepts clés

Fonction du second degré : Fonction $f(x) = ax^2 + bx + c$, $a \neq 0$. Sa courbe est une parabole dont la forme et la position dépendent des coefficients.

Parabole : Courbe symétrique, graphique d’une fonction quadratique. Elle peut ouvrir vers le haut ($a > 0$) ou vers le bas ($a < 0$).

Forme canonique : Expression $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$, où $\alpha$ est l’abscisse du sommet et $\beta$ son ordonnée, mettant en évidence le sommet.

Discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$. Si $\Delta > 0$, deux solutions réelles; si $\Delta = 0$, solution double; si $\Delta < 0$, aucune solution réelle.

Sommet : Point minimal ou maximal de la parabole, aux coordonnées $\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$.

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