Nombres complexes et polynômes

📋 Plan du Cours

1. Formules d’Euler et de Moivre
2. Équations du second degré complexes
3. Racines n-ièmes de l’unité
4. Arithmétique des polynômes
5. Relations de Viète et fractions rationnelles

📖 1. Formules d’Euler et de Moivre

★ À maîtriser

📐 Formule — La formule d’Euler est $e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$.

📐 Formule — Les formules réciproques sont $\cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.

📐 Formule — La formule de Moivre est $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$.

Compléments

• Pour linéariser une puissance de cosinus ou de sinus, on utilise d’abord la formule d’Euler, puis on développe avec le binôme de Newton.

💡 Astuce mémo

Exponentielle complexe → cosinus et sinus → angle multiplié

📖 2. Équations du second degré complexes

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $az^2+bz+c=0$ avec $a,b,c\in\mathbb C$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

• Pour résoudre le trinôme complexe, on cherche $\delta=x+iy$ tel que $\delta^2=\Delta$.

📐 Formule — Les solutions de $az^2+bz+c=0$ sont $z=\frac{-b\pm\delta}{2a}$.

Compléments