Cuestionario: Introduction aux règles de déduction logique — 24 preguntas

1. Quelle est la meilleure caractérisation de la déduction naturelle ?

A. Une méthode qui remplace toutes les hypothèses par des axiomes

B. Une technique qui ne traite que les égalités entre entiers

C. Une procédure qui ne sert qu’à calculer des valeurs numériques

D. Une méthode de preuve organisée en règles d’introduction et d’élimination des connecteurs logiques

Answer: (D)

Explicación

La déduction naturelle structure les preuves en règles d’introduction et d’élimination des connecteurs. Les autres propositions ne décrivent pas cette organisation logique.

2. Que signifie le symbole de tourniquet dans une écriture de preuve comme H ⊢ P ?

A. Il affirme que l’énoncé est déjà vrai sans preuve

B. Il remplace une implication entre deux propositions

C. Il sépare les hypothèses courantes de l’énoncé à démontrer

D. Il indique qu’il faut choisir un témoin existentiel

Answer: (C)

Explicación

Le tourniquet sépare le contexte d’hypothèses du but à prouver. Il ne signifie pas à lui seul que l’énoncé est déjà démontré.

3. Dans l’écriture H ⊢ P, que représente H ?

A. Le témoin choisi pour un quantificateur existentiel

B. Le connecteur principal de la proposition

C. Le résultat final déjà établi

D. La liste des hypothèses disponibles pour raisonner

Answer: (D)

Explicación

H désigne le contexte, c’est-à-dire les hypothèses à disposition. P est le but à établir à partir de ces hypothèses.

4. Quelle règle permet de clôturer une démonstration lorsque la proposition à prouver est déjà présente dans le contexte ?

A. La règle de raisonnement par cas

B. La règle d’introduction de la conjonction

C. La règle de récurrence

D. La règle Ax

Answer: (D)

Explicación

La règle Ax ferme la preuve si P apparaît déjà dans le contexte. Les autres règles servent à d’autres formes de raisonnement.

5. Que permet de conclure le modus ponens à partir de P ⇒ Q et de P ?

A. ¬P

B. P ⇔ Q

C. P ∧ Q

D. Q

Answer: (D)

Explicación

Le modus ponens déduit le conséquent Q dès qu’on dispose de l’implication P ⇒ Q et de son antécédent P. C’est l’usage classique de l’implication.

6. Comment s’écrit le principe de récurrence mentionné dans le cours ?

A. (∀n∈N, Q(n)) ⇒ Q(n+1)

B. (Q(n) ⇒ Q(n+1)) ⇒ ∃n∈N Q(n)

C. (∀n∈N, Q(n) ⇒ Q(n+1)) ⇒ ∀n∈N Q(n)

D. (∃n∈N, Q(n) ⇒ Q(n+1)) ⇒ ∀n∈N Q(n)

Answer: (C)

Explicación

Le principe de récurrence est présenté comme une implication qui transforme la propriété de passage de n à n+1 en propriété vraie pour tout entier. Les autres formulations modifient à tort la forme logique.

7. Quelle est la règle d’introduction de la conjonction ?

A. Déduire P à partir de P ∧ Q

B. Supposer ¬P pour conclure P

C. Montrer séparément P puis Q pour conclure P ∧ Q

D. Déduire Q à partir de P ∨ Q

Answer: (C)

Explicación

Pour établir P ∧ Q, il faut prouver les deux composantes séparément. L’élimination permet ensuite d’extraire l’une des deux composantes.

8. Que permet l’élimination de la conjonction ?

A. Construire une disjonction à partir d’une seule proposition

B. Transformer une implication en équivalence

C. Prouver une négation à partir d’un témoin

D. Extraire l’une des deux propositions contenues dans P ∧ Q

Answer: (D)

Explicación

À partir de P ∧ Q, on peut utiliser une projection pour obtenir P ou Q. C’est exactement le rôle des règles d’élimination de ∧.

9. Quelle stratégie correspond au raisonnement par cas sur une disjonction ?

A. Remplacer la disjonction par une conjonction

B. Montrer que les deux branches sont fausses

C. Supposer uniquement la branche gauche et ignorer la droite

D. Prouver la même conclusion à partir de chaque branche de la disjonction

Answer: (D)

Explicación

Le raisonnement par cas consiste à traiter séparément chaque alternative et à obtenir la même conclusion dans les deux cas. On peut alors conclure pour la disjonction entière.

10. Que faut-il faire pour introduire une disjonction P ∨ Q ?

A. Prouver simultanément P et Q

B. Prouver l’un des deux côtés et choisir la branche correspondante

C. Démontrer que P équivaut à Q

D. Supposer que P et Q sont fausses

Answer: (B)

Explicación

Pour introduire une disjonction, un seul des deux côtés suffit, selon la branche choisie. L’autre côté n’a pas besoin d’être prouvé.

11. Que signifie P ⇔ Q ?

A. P ∧ Q

B. P ∨ Q

C. ¬P ⇒ Q

D. P ⇒ Q et Q ⇒ P

Answer: (D)

Explicación

Une équivalence est une double implication : chaque proposition entraîne l’autre. Ce n’est pas une simple conjonction ni une disjonction.

12. Quelle méthode est utilisée pour prouver une équivalence ?

A. Appliquer une disjonction de cas

B. Démontrer séparément l’implication directe et l’implication réciproque

C. Montrer seulement l’implication directe

D. Supposer que les deux propositions sont fausses

Answer: (B)

Explicación

Pour établir P ⇔ Q, il faut prouver P ⇒ Q puis Q ⇒ P. C’est précisément la définition utilisée dans le cours.

13. Comment peut-on prouver une négation ¬P ?

A. En prouvant P ∧ ¬P

B. En choisissant un témoin existentiel

C. En montrant directement P

D. En montrant qu’en supposant P on obtient une contradiction

Answer: (D)

Explicación

Prouver ¬P revient à montrer que P conduit à une contradiction. C’est la règle d’introduction de la négation.

14. Que permet la double négation ¬¬P en logique classique ?

A. De prouver uniquement une disjonction

B. De conclure ¬P

C. De récupérer P

D. De construire P ∧ ¬P

Answer: (C)

Explicación

En logique classique, ¬¬P permet de conclure P par élimination de la double négation. Le cours souligne cette liaison entre ¬¬P et P.

15. Quelle est la condition pour introduire un quantificateur universel ?

A. Il faut prouver une contradiction

B. La variable choisie ne doit pas être libre dans le contexte

C. Il faut disposer d’une disjonction

D. Il faut d’abord exhiber un témoin particulier

Answer: (B)

Explicación

Pour démontrer ∀x P(x), la variable doit rester arbitraire et ne pas dépendre d’une hypothèse du contexte. Cela évite de restreindre abusivement la généralité.

16. Que permet l’élimination du quantificateur universel ?

A. De transformer une conjonction en implication

B. De nier une proposition

C. De prouver l’existence d’un témoin

D. D’instancier la propriété en un élément particulier

Answer: (D)

Explicación

L’élimination du ∀ consiste à appliquer la propriété générale à un élément donné. On obtient ainsi une instance particulière de l’énoncé universel.

17. Que faut-il fournir pour introduire un quantificateur existentiel ?

A. Une contradiction dans le contexte

B. Un témoin satisfaisant la propriété

C. Une preuve de la négation de la propriété

D. Une preuve de toutes les instances possibles

Answer: (B)

Explicación

Pour prouver ∃x P(x), il faut exhiber un élément particulier qui vérifie P. Ce témoin est l’élément qui certifie l’existence.

18. Lors de l’élimination de ∃x P(x), quelle exigence porte sur le témoin choisi ?

A. Il doit déjà apparaître libre dans le contexte

B. Il doit être égal à tous les éléments du domaine

C. Il doit être arbitraire et ne pas dépendre du contexte

D. Il doit être choisi comme une contradiction

Answer: (C)

Explicación

Le témoin doit être frais, c’est-à-dire non lié à une information particulière du contexte. Sinon, le raisonnement ne serait plus valide pour un existentiel.

19. En Lean, quelle tactique est associée à l’introduction d’une hypothèse ?

A. contradiction

B. cases

C. intro

D. rewrite

Answer: (C)

Explicación

La tactique intro ajoute une hypothèse au contexte et correspond à une règle d’introduction. Les autres tactiques servent à d’autres transformations.

20. En Lean, quelle tactique est utilisée pour exploiter une contradiction déjà présente dans le contexte ?

A. contradiction

B. intro

C. apply

D. specialize

Answer: (A)

Explicación

La tactique contradiction clôt une preuve dès qu’une impossibilité est détectée dans le contexte. Elle correspond à un raisonnement par l’absurde ou à une incohérence directe.

21. Que fait la tactique apply lorsqu’on dispose d’une implication p → q ?

A. Elle réduit le but q en un nouveau but p

B. Elle construit une conjonction à partir de rien

C. Elle instancie un existentiel avec un témoin

D. Elle introduit automatiquement une disjonction

Answer: (A)

Explicación

apply utilise l’implication comme une fonction et transforme le but en sous-but correspondant à l’antécédent. C’est l’analogue opérationnel du modus ponens.

22. Que fait la tactique specialize avec une hypothèse universelle ?

A. Elle la transforme en contradiction

B. Elle l’instancie en remplaçant la variable par un terme donné

C. Elle la remplace par une disjonction

D. Elle la découpe en deux cas

Answer: (B)

Explicación

specialize applique une hypothèse ∀x, P x à une valeur précise a. On obtient alors une instance P a dans le contexte.

23. Que fait la tactique constructor lorsqu’on veut prouver une conjonction ?

A. Elle extrait automatiquement la partie gauche d’une conjonction

B. Elle ferme immédiatement le but sans sous-objectifs

C. Elle génère deux sous-buts, un pour chaque membre de la conjonction

D. Elle transforme une implication en négation

Answer: (C)

Explicación

constructor sert à construire une preuve de conjonction en demandant une preuve de chaque composante. C’est l’équivalent direct de l’introduction de ∧.

24. Quelle expression permet d’extraire la composante gauche d’une conjonction déjà connue ?

A. Or.inr

B. And.left

C. And.right

D. Iff.mpr

Answer: (B)

Explicación

And.left projette la première composante d’une preuve de A ∧ B. And.right donnerait la composante droite, et les autres expressions concernent d’autres connecteurs.