Cuestionario: Analyse des hyperboles, asymptotes et fonctions rationnelles — 5 preguntas

1. Pour l’hyperbole $y=\dfrac{ax+b}{x-2}$ passant par les points $A(1;4)$ et $B(3;2)$, quelle méthode permet de déterminer $a$ et $b$ ?

A. Utiliser seulement la condition $x=2$ pour obtenir directement $a$

B. Remplacer les coordonnées des deux points dans l’expression puis résoudre le système obtenu

C. Calculer uniquement l’asymptote horizontale puis en déduire $b$

D. Lire $a$ et $b$ à partir des coordonnées des points sans écrire d’équation

Answer: (B)

Explicación

On impose les deux points dans l’expression de l’hyperbole, ce qui fournit deux équations à deux inconnues. La résolution de ce système donne ensuite les valeurs de $a$ et $b$.

2. Pour la courbe $y=\dfrac{ax+b}{x-2}$, quelles sont ses asymptotes ?

A. Une asymptote verticale $x=2$ et une asymptote horizontale $y=a$

B. Une seule asymptote horizontale $y=2$

C. Deux asymptotes obliques données par les points imposés

D. Une asymptote verticale $x=a$ et une asymptote horizontale $y=2$

Answer: (A)

Explicación

La valeur interdite du dénominateur donne l’asymptote verticale $x=2$. Le quotient des coefficients dominants donne l’asymptote horizontale $y=a$.

3. Pour déterminer les points d’intersection entre l’hyperbole $y=\dfrac{ax+b}{x-2}$ et la droite $y=mx$, quelle opération faut-il effectuer ?

A. Tracer les deux courbes sans calcul pour compter les intersections

B. Comparer directement les coefficients de $x$ dans les deux expressions

C. Remplacer $y$ par $mx$ puis résoudre l’équation obtenue en $x$

D. Résoudre uniquement $mx=0$ pour trouver les abscisses communes

Answer: (C)

Explicación

On impose l’égalité des deux expressions de $y$, ce qui conduit à une équation en $x$. Les solutions trouvées donnent ensuite les points d’intersection via $y=mx$.

4. Pour la fonction rationnelle $g(x)=\dfrac{3+2x}{x-1}$, quel énoncé est exact ?

A. Son asymptote horizontale est $y=1$ car le dénominateur vaut 1

B. Son domaine exclut $x=1$ et ses asymptotes sont $x=1$ et $y=2$

C. Son domaine exclut $x=2$ et ses asymptotes sont $x=2$ et $y=3$

D. Son zéro est obtenu en résolvant $x-1=0$

Answer: (B)

Explicación

Le dénominateur s’annule en $x=1$, donc cette valeur est exclue du domaine et donne l’asymptote verticale. Le rapport des termes dominants vaut $2$, d’où l’asymptote horizontale $y=2$.

5. Pour une fonction affine $f(x)=ax+b$, que permet de conclure le signe de $a$ sur les variations ?

A. Si $a>0$, la fonction croît ; si $a<0$, elle décroît

B. La fonction croît seulement lorsque $b>0$

C. Le signe de $a$ n’influence pas les variations

D. Si $a>0$, la fonction décroît ; si $a<0$, elle croît

Answer: (A)

Explicación

Le coefficient directeur $a$ détermine le sens de variation de la droite. Un coefficient positif entraîne une croissance, tandis qu’un coefficient négatif entraîne une décroissance.