Hoja de repaso: Cours de Géométrie et Algebra Essentielle

📋 Plan du Cours

1. Égalités de deux quotients
2. Puissance à exposant entier naturel
3. Opérations sur les quotients
4. Racine carrée d’un nombre positif
5. Produits, quotients et racines carrées
6. Équations et inéquations du premier degré
7. Équation d’une droite dans le plan
8. Position relative de deux droites
9. Repère orthonormé et couples de coordonnées
10. Vecteur et coordonnées du vecteur
11. Propriété de Thalès dans le triangle
12. Réciproque de Pythagore

📖 1. Égalités de deux quotients

🔑 Notions clés & Définitions

• Quotients : Un quotient est une écriture de la forme $\dfrac{A}{B}$, avec $B\neq 0$, qui représente un rapport entre deux nombres.
• Égalité de deux quotients : Deux quotients sont égaux quand leurs produits en croix sont égaux, sous les conditions de non-nullité des dénominateurs.
• Produit en croix : Le produit en croix est la règle qui compare $A/B$ et $C/D$ via $A\times D$ et $B\times C$ pour décider de l’égalité.
• Condition de non-nul : La condition de non-nul impose que les dénominateurs des quotients soient différents de $0$ pour que l’écriture ait un sens.

📝 Points essentiels

• Si $A\neq 0$ et $B\neq 0$, alors $\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}$ se vérifie en comparant les produits $A\times D$ et $B\times C$.
• Pour additionner ou soustraire des quotients, on met au même dénominateur avant de combiner les numérateurs.
• Exemple : $\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{2\times 4+5\times 3}{3\times 4}=\dfrac{23}{12}$.
• Exemple : $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{4}=\dfrac{2\times 5}{3\times 4}=\dfrac{10}{12}=\dfrac{5}{6}$.
• Exemple : $\dfrac{2}{3}\div\dfrac{5}{4}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{5}=\dfrac{8}{15}$.
• Un quotient est défini seulement si son dénominateur est non nul, donc on exclut les cas où le dénominateur vaut $0$.

💡 Astuce mémo

Produit en croix : égalité = croiser et multiplier (numérateur×dénominateur opposé).

📖 2. Puissance à exposant entier naturel

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Une puissance est une écriture de la forme $a^n$ qui représente le produit de $n$ facteurs égaux à $a$.
• Exposant entier naturel : Un exposant entier naturel est un entier $n\in\mathbb{N}$ utilisé pour définir une puissance $a^n$.
• Carré d’un nombre : Le carré d’un nombre $a$ est la puissance $a^2$, égale à $a\times a$.
• Racine carrée : La racine carrée de $A$ est le nombre positif dont le carré vaut $A$, notée $\sqrt{A}$.

📝 Points essentiels

• Pour $a\ge 0$, on a $\sqrt{a^2}=|a|$ et la racine carrée renvoie une valeur non négative.
• La racine carrée $\sqrt{A}$ n’existe pas pour un $A$ strictement négatif dans l’ensemble des réels.
• Pour $A\ge 0$, on a $\sqrt{A^2}=A$ (la racine carrée d’un carré redonne la valeur positive).
• Si $a>0$ et $n$ est un entier relatif, alors $\sqrt{a^{2n}}=a^n$ et $\sqrt{a^{2n+1}}=a^n\sqrt{a}$ (cas de puissances sous une racine).
• Dans les calculs, $a^2$ signifie $a\times a$ et $a^3$ signifie $a\times a\times a$ (exposant naturel = répétition du facteur).
• Comparaison : $\sqrt{a^2}$ vaut $|a|$ (valeur absolue) alors que $\sqrt{a}$ n’est défini que si $a\ge 0$.

💡 Astuce mémo

Carré→racine : $\sqrt{a^2}$ rend toujours une valeur positive, donc $\sqrt{a^2}=|a|$.

📖 3. Opérations sur les quotients

🔑 Notions clés & Définitions

• Quotient de deux nombres : Un quotient est le résultat de la division d’un nombre par un autre, noté sous forme de fraction.
• Propriété de Thalès : Dans un triangle, si deux segments sont parallèles à un côté, alors les rapports de longueurs sur les côtés sont égaux.
• Réciproque de Thalès : Si, dans un triangle, deux points vérifient l’égalité des rapports de longueurs, alors la droite passant par ces points est parallèle au troisième côté.
• Conséquence de Thalès : Dans un triangle, avec une droite parallèle à un côté, les longueurs correspondantes vérifient une relation de proportionnalité permettant de calculer un segment.
• Quatrième proportionnelle : La quatrième proportionnelle est la valeur $x$ telle que deux rapports de longueurs soient égaux, avec trois nombres donnés dans un ordre précis.

📝 Points essentiels

• Dans la propriété de Thalès, si $(MN)//(BC)$ alors les rapports $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$ sont égaux.
• La réciproque de Thalès sert à prouver une parallélité : si $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$ alors $(MN)//(BC)$.
• La conséquence de Thalès permet de calculer une longueur via une égalité de rapports entre segments portés par des droites parallèles.
• Quatrième proportionnelle : $x$ est la quatrième proportionnelle de $a,b,c$ dans cet ordre si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{x}$, donc $x=\dfrac{b\,c}{a}$.
• Construction : on trace deux demi-droites d’origine commune, on place $A,B$ sur l’une avec $MA=a$ et $MB=b$, puis on place $C$ sur l’autre avec $MC=c$, et la parallèle à $(AC)$ coupe $(MC)$ en $N$ pour obtenir $MN=x$.
• Distance de deux réels : la distance entre $a$ et $b$ vaut $|a-b|$, donc elle est toujours positive ou nulle.

💡 Astuce mémo

Thalès = rapports égaux (parallèle) ; réciproque = rapports égaux (parallèle prouvée) ; quatrième proportionnelle = croiser-diviser $x=\dfrac{b\,c}{a}$.

📖 4. Racine carrée d’un nombre positif

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : La racine carrée d’un nombre positif est le nombre réel dont le carré vaut ce nombre.
• Nombre positif : Un nombre positif est un réel supérieur ou égal à zéro.
• Comparaison par carrés : La comparaison de deux réels peut se faire en comparant leurs carrés quand les quantités sont positives.
• Comparaison par racines carrées : Comparer deux racines carrées revient à comparer les nombres sous les racines, sous réserve de positivité.

📝 Points essentiels

• Si $a\ge 0$ et $b\ge 0$, alors $a<b$ équivaut à $\sqrt a<\sqrt b$ (la racine carrée conserve l’ordre).
• Si $a\ge 0$ et $b\ge 0$, alors $\sqrt a=\sqrt b$ équivaut à $a=b$.
• Pour comparer $\sqrt a$ et $\sqrt b$ avec $a,b\ge 0$, on peut comparer $a$ et $b$ directement plutôt que les racines.
• Pour comparer des expressions du type $\sqrt{a}$ et $\sqrt{b}$, on peut aussi comparer leurs carrés : $\sqrt a<\sqrt b$ équivaut à $a<b$ quand les deux sont positifs.
• La racine carrée n’est définie dans les réels que pour les nombres $\ge 0$, ce qui impose de vérifier la positivité des expressions sous les racines.

💡 Astuce mémo

Ordre conservé : sur $[0,\infty[$, « carré ↔ racine » ne mélange pas les tailles : plus grand reste plus grand.

📖 5. Produits, quotients et racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Colinéarité de vecteurs : Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction ou si l’un d’eux est le vecteur nul.
• Alignement de points : Trois points sont alignés lorsque les vecteurs issus de deux d’entre eux sont colinéaires.
• Vecteur directeur : Un vecteur non nul est directeur d’une droite si la droite et la droite passant par les deux points du vecteur sont parallèles.
• Vecteurs orthogonaux : Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsqu’ils sont directeurs de deux droites perpendiculaires.
• Décomposition vectorielle : Décomposer un vecteur consiste à l’écrire comme somme de deux vecteurs pour relier des points intermédiaires.

📝 Points essentiels

• Si $\overrightarrow{AA}=k\,\overrightarrow{AA}$ avec $k\neq 0$, alors $\overrightarrow{AA}$ et $\overrightarrow{AA}$ sont colinéaires.
• Si $\overrightarrow{AA}=\frac12\,\overrightarrow{AA}$ et $\overrightarrow{AA}=3\,\overrightarrow{AA}$, alors $\overrightarrow{AA}=\frac32\,\overrightarrow{AA}$, donc les vecteurs sont colinéaires.
• Pour montrer l’alignement de $A,B,C$, on peut prouver que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
• Un vecteur directeur d’une droite $(D)$ est un vecteur non nul $\overrightarrow{AB}$ tel que $(D)\parallel(AB)$.
• Deux vecteurs orthogonaux $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ vérifient $\overrightarrow{u}\perp\overrightarrow{v}$ car ils sont directeurs de droites perpendiculaires.
• Dans l’exercice, on utilise $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ pour relier des vecteurs et déduire des positions de droites.

💡 Astuce mémo

Colinéarité = même direction (ou vecteur nul) ; Orthogonalité = droites perpendiculaires ; Somme de vecteurs = “aller par étapes” (décomposition).

📖 6. Équations et inéquations du premier degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Inconnue : L’inconnue est la quantité notée (souvent A) dont on cherche la valeur en résolvant l’équation ou l’inéquation.
• Mise en équation : La mise en équation consiste à traduire un problème par une expression algébrique et une relation entre deux membres.
• Inéquation du premier degré : Une inéquation du premier degré est une inégalité où l’inconnue apparaît à la puissance 1, par exemple ax+b<0 ou ax+b>0.
• Résolution par isolement : La résolution par isolement consiste à regrouper les termes en l’inconnue puis à isoler le coefficient de l’inconnue pour obtenir une condition simple.

📝 Points essentiels

• Pour comparer deux propositions de prix, on écrit l’inégalité des coûts : coût Villepastour < coût France.
• On regroupe les termes en A puis on simplifie pour obtenir une inéquation du type −100A<−3800.
• On divise par un nombre négatif en inversant le sens de l’inégalité : si −100A<−3800 alors 100A>3800.
• Dans l’exemple, on obtient A>38, donc Villepastour est plus avantageuse pour plus de 38 manuels.
• Pour un prix entier, on combine deux conditions issues de deux cartons : 12A<1440 et 24A>2640.
• Dans l’exemple, on obtient 110<A<120, puis les valeurs entières possibles sont 111 à 119 inclus.

💡 Astuce mémo

Isolement + sens : quand tu divises par un nombre négatif, le signe < ou > s’inverse.

📖 7. Équation d’une droite dans le plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du premier degré : Équation dans laquelle les inconnues apparaissent uniquement au degré 1, donc sous forme linéaire.
• Solution d’une équation : Couple de valeurs des inconnues qui rend l’égalité vraie en remplaçant dans l’équation.
• Équation cartésienne d’une droite : Écriture d’une droite du plan sous la forme $ax+by+c=0$ avec $a$ et $b$ non nuls dans le cas traité.
• Coefficient directeur : Nombre qui mesure la variation de $y$ quand $x$ augmente de 1, pour une droite non parallèle à l’axe des ordonnées.
• Ordonnée à l’origine : Valeur de $y$ quand $x=0$ pour une droite écrite sous la forme $y=ax+b$.

📝 Points essentiels

• Une équation du type $2x+y-6=0$ admet des couples solutions, par exemple $(0;6)$ vérifie l’égalité tandis que $(1;-3)$ ne la vérifie pas.
• Pour résoudre $2x+y-6=0$, on peut isoler une inconnue, par exemple $y=-2x+6$, puis former des couples $(x;y)$.
• Les solutions d’une équation du premier degré dans le plan sont alignées : tous les points de coordonnées solutions appartiennent à une même droite.
• Réciproquement, tout couple solution correspond à un point de cette droite, donc l’ensemble des solutions décrit exactement la droite.
• Toute droite (dans le repère) admet une équation de la forme $ax+by+c=0$ avec $a\neq 0$ et $b\neq 0$ (cas traité).
• Pour une droite passant par deux points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$, on peut écrire que le point $M(x;y)$ est sur la droite équivaut à la colinéarité des vecteurs, puis obtenir une équation du type $ax+by+c=0$.

💡 Astuce mémo

Solution = égalité vraie : si tu remplaces les coordonnées dans l’équation et que ça “tombe juste”, le point est sur la droite.

📖 8. Position relative de deux droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Population statistique : Une population est l’ensemble des êtres ou objets sur lesquels on réalise une étude statistique.
• Caractère quantitatif : Un caractère est quantitatif lorsque les réponses étudiées sont des nombres.
• Caractère qualitatif : Un caractère est qualitatif lorsque les réponses étudiées ne sont pas des nombres.
• Fréquence d’une modalité : La fréquence d’une modalité est le quotient de son effectif par l’effectif total de la série.
• Classe modale : La classe modale est, dans une série regroupée en classes, celle qui possède le plus grand effectif.

📝 Points essentiels

• La fréquence relative s’exprime aussi comme un nombre décimal arrondi puis en pourcentage en multipliant par 100.
• L’effectif d’une modalité est le nombre d’occurrences de cette modalité dans les réponses.
• L’effectif cumulé croissant (resp. décroissant) d’une modalité A est la somme des effectifs des modalités ≤ A (resp. ≥ A).
• Le mode d’une série est la modalité dont l’effectif est maximal.
• La médiane correspond à la valeur centrale si l’effectif total n est impair, et à la demi-somme des deux valeurs centrales si n est pair.
• L’étendue d’une série est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur.

💡 Astuce mémo

Mode = effectif max ; Médiane = milieu (n impair : valeur centrale, n pair : moyenne des deux centrales).

📖 9. Repère orthonormé et couples de coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthonormé : Un repère orthonormé est un repère du plan où les axes sont perpendiculaires et gradués avec la même unité de longueur.
• Couple de coordonnées : Un couple de coordonnées est un couple $(x;y)$ qui repère un point du plan en donnant ses distances signées aux axes.
• Droite d’équation : Une droite d’équation est l’ensemble des points dont les coordonnées vérifient une relation du type $ax+by+c=0$.
• Ensemble des solutions : L’ensemble des solutions est l’ensemble de tous les couples $(x;y)$ qui rendent une égalité ou une inégalité vraie.

📝 Points essentiels

• Un point du plan est repéré par un couple $(x;y)$ dans un repère orthonormé.
• Résoudre une équation du 1er degré à deux inconnues revient à trouver tous les couples $(x;y)$ qui rendent l’égalité vraie.
• Pour une équation $ax+by+c=0$, l’ensemble des solutions correspond aux coordonnées des points de la droite $ax+by+c=0$.
• Une droite contient une infinité de points, donc une équation $ax+by+c=0$ admet en général une infinité de solutions.
• Dans un système de deux équations, les solutions sont les couples $(x;y)$ communs aux deux droites tracées.
• Pour une inéquation du 1er degré, la droite frontière partage le plan en deux demi-plans et les points d’un demi-plan vérifient l’inégalité correspondante.

💡 Astuce mémo

Équation = droite : les solutions sont les points de la droite ; inéquation = demi-plan : les solutions sont d’un côté de la droite frontière.

📖 10. Vecteur et coordonnées du vecteur

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère (O, I, J) : Un repère plan est un système de référence qui fixe l’origine O et deux directions notées I et J pour lire des coordonnées.
• Coordonnées du point A : Les coordonnées d’un point A sont les nombres qui repèrent sa position dans le repère (O, I, J).
• Vecteur : Un vecteur est un objet géométrique orienté caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur.
• Coordonnées d’un vecteur : Les coordonnées d’un vecteur sont les nombres qui décrivent son déplacement selon les axes du repère.

📝 Points essentiels

• Dans un repère (O, I, J), les coordonnées d’un point s’obtiennent en projetant sa position sur les directions définies par I et J.
• Pour déterminer une valeur numérique liée à un point A, on remplace les coordonnées de A dans l’expression donnée.
• Une inéquation du type ax+by+c>0 se représente graphiquement par un demi-plan dont la frontière est une droite.
• La frontière d’une inéquation est la droite obtenue en remplaçant le signe > ou < par l’égalité correspondante.
• Le demi-plan « ne contenant pas le point A » correspond aux solutions de l’inéquation quand le test sur le couple (coordonnées de A) donne un résultat négatif.
• Dans un système de deux inéquations, l’ensemble des solutions est la zone hachurée deux fois (intersection des demi-plans).

💡 Astuce mémo

Test de signe : tu remplaces par les coordonnées d’un point A → si le résultat est négatif, le demi-plan à exclure est celui qui contient A.

📖 11. Propriété de Thalès dans le triangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Thalès : Théorème reliant des rapports de longueurs dans un triangle lorsque des droites sont parallèles à un côté.
• Parallélisme dans un triangle : Situation où une droite coupe deux côtés du triangle en gardant un angle constant, ce qui permet des rapports égaux.
• Rapports de longueurs : Égalités de quotients entre segments découpés sur des côtés, issues du parallélisme.
• Triangle emboîté : Configuration où un triangle plus petit est formé à l’intérieur du triangle initial par des droites parallèles.

📝 Points essentiels

• Si une droite est parallèle à un côté d’un triangle, alors elle découpe les deux autres côtés en segments proportionnels.
• Dans le triangle ABC, si M∈[AB] et N∈[AC] avec MN ∥ BC, alors AM/AB = AN/AC.
• Dans la même configuration, on a aussi BM/AB = CN/AC (même proportion, segments complémentaires).
• Le parallélisme permet d’obtenir une seule échelle de réduction/agrandissement entre les triangles emboîtés.
• Les rapports restent valables même si on utilise des segments entiers ou des segments complémentaires, tant que les points sont sur les bons côtés.

💡 Astuce mémo

Parallèle ⇒ Proportion : même “échelle” sur les deux côtés du triangle.

📖 12. Réciproque de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangle rectangle : Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit, donc deux côtés adjacents vérifient une relation de Pythagore.
• Hypoténuse : L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit dans un triangle rectangle.
• Réciproque de Pythagore : La réciproque de Pythagore affirme qu’une égalité de carrés caractérise un triangle rectangle.
• Égalité des carrés : Une égalité du type somme des carrés de deux côtés égale le carré du troisième permet de conclure sur la perpendicularité.

📝 Points essentiels

• Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle.
• Dans le cas rectangle, le plus grand côté est l’hypoténuse et il vérifie la relation de Pythagore avec les deux côtés de l’angle droit.
• Pour appliquer la réciproque, on compare d’abord les longueurs pour identifier le plus grand côté avant de tester l’égalité des carrés.
• Si l’égalité n’est pas vérifiée, on ne peut pas conclure que le triangle est rectangle par la réciproque de Pythagore.

💡 Astuce mémo

Égalité des carrés = angle droit : si $c^2=a^2+b^2$ (avec $c$ le plus grand), alors triangle rectangle.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’égalité de deux quotients avec une simple égalité des numérateurs : on compare via les produits en croix, en respectant les dénominateurs non nuls.
2. Oublier la valeur absolue dans √(a²) : √(a²)=|a|, donc √(a²) n’est pas forcément égal à a si a<0.
3. Penser que √a existe pour tout réel : dans ℝ, √a n’est défini que si a≥0, donc il faut vérifier le signe sous la racine.
4. Se tromper de sens quand on divise (ou multiplie) une inéquation par un nombre négatif : le signe < ou > s’inverse.
5. Croire que pour comparer √a et √b on peut toujours comparer a et b sans condition : il faut a≥0 et b≥0 (ou comparer leurs carrés avec prudence selon le signe).
6. Mélanger colinéarité et orthogonalité : colinéarité = même direction (ou vecteur nul), orthogonalité = droites perpendiculaires (produit scalaire nul via la condition donnée).
7. Confondre équation et inéquation du 1er degré à deux inconnues : l’équation correspond à la droite (frontière), l’inéquation correspond à un demi-plan (un côté de la frontière).

✅ Checklist Examen

1. Savoir quand deux quotients A/B et C/D sont égaux et appliquer le produit en croix avec dénominateurs non nuls.
2. Effectuer des opérations sur fractions : addition/soustraction au même dénominateur, multiplication numérateur×numérateur et dénominateur×dénominateur, division par réciproque.
3. Manipuler les puissances à exposant entier naturel et les inverses (a^(-n) = 1/a^n) quand le cours le demande.
4. Utiliser correctement √(a²)=|a| et √a défini seulement pour a≥0, puis simplifier des expressions sous racine (cas a^{2n}, a^{2n+1}).
5. Résoudre une inéquation du 1er degré par isolement en respectant l’inversion du sens lors d’une division par un nombre négatif.
6. Résoudre une équation du 1er degré à deux inconnues : trouver l’ensemble des couples solutions et relier à la droite correspondante.
7. Écrire l’équation d’une droite à partir de deux points (via colinéarité) et reconnaître la forme ax+by+c=0 (cas traité).
8. Déterminer la position relative de deux droites via leurs coefficients directeurs : parallélisme (coefficients égaux) et perpendicularité (produit = -1 en repère orthonormé).
9. Lire/produire des coordonnées dans un repère orthonormé : couple (x;y) d’un point, et interpréter l’ensemble des solutions d’une inéquation comme un demi-plan.
10. Calculer des coordonnées de vecteurs dans un repère (O;I;J), puis utiliser la somme de vecteurs (coordonnées additionnées) et le produit par un réel (coordonnées multipliées).
11. Utiliser Thalès (et sa réciproque) dans un triangle pour prouver un parallélisme ou établir une proportion, puis calculer une quatrième proportionnelle x=b·c/a.
12. Appliquer Pythagore et sa réciproque pour reconnaître un triangle rectangle et calculer une longueur, puis utiliser la propriété métrique déduite de l’aire si demandée.
13. Traiter une statistique : définir population/caractère/modalités, calculer effectif, fréquence (et en %), mode/classe modale, médiane (n impair/pair) et étendue.
14. Représenter graphiquement une série : diagramme en bâtons/à bandes et diagramme circulaire/semi-circulaire via angles au centre, puis construire des effectifs cumulés et la médiane par interpolation linéaire si la leçon