Introduction aux logarithmes et leurs propriétés

📋 Plan du Cours

1. Fonction logarithme népérien
2. Propriétés algébriques ln
3. Étude de la fonction ln
4. Limites et asymptotes ln
5. Logarithme décimal
6. Logarithme de base a

📖 1. Fonction logarithme népérien

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien (ln) : Fonction définie comme l'inverse de la fonction exponentielle, associant à tout réel strictement positif x un réel unique ln(x) tel que e^{ln(x)} = x.
• Notation ln(x) : Abréviation courante pour désigner le logarithme népérien de x.
• Existence et unicité de ln(b) (voir source) : Pour tout b > 0, il existe un unique réel ln(b) tel que e^{ln(b)} = b, ce qui garantit la bijection entre ]0 ; +∞[ et ℝ via la fonction ln.

📝 Points essentiels

• La fonction exponentielle est continue, strictement croissante sur ℝ, et prend toutes ses valeurs dans ]0 ; +∞[. Elle est bijective entre ℝ et ]0 ; +∞[.
• La fonction logarithme népérien ln est définie comme l'inverse de la fonction exponentielle : pour tout x > 0, ln(x) est le seul réel tel que e^{ln(x)} = x.
• La notation ln(x) est préférée pour sa simplicité, et sa définition repose sur la bijection entre ℝ et ]0 ; +∞[.
• La fonction ln est strictement croissante, continue, dérivable sur ]0 ; +∞[, avec une dérivée positive 1/x, ce qui implique que ln(x) augmente lorsque x augmente.
• La propriété fondamentale : pour tout x > 0, ln(1) = 0 et ln(e) = 1, où e est la base du logarithme népérien.