Hoja de repaso: Maîtrise des intérêts et emprunts financiers

📋 Plan du Cours

1. Produit en croix et proportionnalité
2. Intérêts simples et formule de calcul
3. Taux annuel, mensuel et conversion
4. Livret A et prise en compte des dates
5. Intérêts composés et capitalisation
6. Actualisation et valeur initiale
7. Remboursement d’un capital emprunté
8. Coût du crédit et capacité d’endettement
9. Tableaux d’emprunt : annuité, amortissement, in fine

📖 1. Produit en croix et proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit en croix : Méthode de résolution d’une proportion en reliant deux rapports par un produit croisé.
• Proportionnalité : Relation où des grandeurs varient de façon proportionnelle, avec un même facteur de passage.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une proportion, on multiplie en croix puis on isole l’inconnue.
• Exemple rose : 2 roses coûtent 2×3/1 = 6 € si 1 rose coûte 3 €.
• Le produit en croix s’applique quand on a deux rapports égaux entre grandeurs.
• On peut interpréter la proportion comme un facteur multiplicatif constant entre les quantités.
• Le schéma croisé sert à éviter les erreurs d’alignement des grandeurs.

💡 Astuce mémo

Croise, multiplie, puis isole : le bon sens est “en croix = même rapport”.

📖 2. Intérêts simples et formule de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Intérêt simple : Intérêt calculé sur le capital initial, sans ajout des intérêts au capital pendant la durée.
• Capital : Montant de départ sur lequel les intérêts sont calculés.
• Taux : Pourcentage appliqué au capital pour déterminer la part d’intérêt sur une période.
• Nombre de jours : Durée exprimée en jours utilisée pour proratiser le calcul des intérêts simples.

📝 Points essentiels

• Formule des intérêts simples : $I=C\times t\times n/365$.
• $I$ désigne l’intérêt, $C$ le capital, $t$ le taux, et $n$ le nombre de jours.
• Exemple : $C=4598\,EUR$, $t=3\%$ annuel, $n=75$ jours donne $I=28,34\,EUR$.
• Exemple : $C=6595\,EUR$, $t=4\%$ annuel du 10 avril au 20 novembre (225 jours) donne $I=162,62\,EUR$.
• Le calcul des intérêts simples dépend du nombre de jours via la division par 365.
• Quand le taux est annuel, on utilise directement la formule avec $n$ en jours.

💡 Astuce mémo

Intérêt simple = Capital × Taux × Jours / 365.

📖 3. Taux annuel, mensuel et conversion

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux annuel : Taux exprimé pour une année entière, servant de base aux conversions.
• Taux mensuel : Taux exprimé pour un mois, obtenu à partir du taux annuel.
• Taux trimestriel : Taux exprimé pour un trimestre, lié au taux annuel par un facteur de conversion.
• Taux semestriel : Taux exprimé pour un semestre, lié au taux annuel par un facteur de conversion.

📝 Points essentiels

• Conversion : $1\,an=12\,mois$ et $1\,an=4\,trimestres$ et $1\,an=2\,semestres$.
• Conversion taux annuel → taux mensuel : taux mensuel = taux annuel / 12.
• Conversion taux mensuel → taux annuel : taux annuel = taux mensuel × 12.
• Dans les exemples, un taux mensuel est converti en taux annuel via le facteur 12 avant d’utiliser la formule en jours.
• Exemple : $637\,EUR$ à $0,5\%$ mensuel pendant 127 jours utilise $6\%$ dans la formule (car $0,5\%\times 12=6\%$).
• Exemple : $27\,598\,EUR$ à $2\%$ trimestriel du 3 février au 27 juillet utilise $8\%$ (car $2\%\times 4=8\%$) et $n=175$ jours.

💡 Astuce mémo

Annuel ↔ mensuel : diviser ou multiplier par 12 ; trimestriel ↔ annuel : multiplier par 4.

📖 4. Livret A et prise en compte des dates

🔑 Notions clés & Définitions

• Livret A : Support d’épargne dont les intérêts se calculent en tenant compte des dates de dépôts et retraits.
• Date de retrait : Date à laquelle une partie du capital quitte le livret, réduisant le capital pris en compte après cette date.
• Date de dépôt : Date à laquelle un montant entre sur le livret, augmentant le capital pris en compte après cette date.
• Prise en compte des dates : Règle de calcul qui ajuste le capital utilisé selon les périodes entre dépôts et retraits.

📝 Points essentiels

• Le calcul du livret A se fait par périodes où le capital pris en compte reste constant.
• Exemple : capital initial 10 000 € à 3% annuel avec retrait 20/04 et dépôt 21/09.
• Le retrait 20/04 est pris en compte le 16/04 (donc la première période utilise 10 000 € jusqu’à cette date de prise en compte).
• Le dépôt 21/09 est pris en compte le 01/10 (donc la deuxième période utilise 8 000 € jusqu’au 01/10).
• Intérêts période 1 : $I=10\,000\times 3\%\times 105/365=86,30\,EUR$.
• Intérêts période 2 : $I=8\,000\times 3\%\times 168/365=110,47\,EUR$ puis période 3 : $I=8\,500\times 3\%\times 92/365=64,27\,EUR$, total $261,04\,EUR$.

💡 Astuce mémo

Livret A = capital par périodes : retrait réduit, dépôt augmente, et les dates “de prise en compte” pilotent les jours.

📖 5. Intérêts composés et capitalisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Intérêts composés : Intérêts calculés sur un capital qui inclut les intérêts des périodes précédentes.
• Capitalisation : Action de réinvestir les intérêts pour qu’ils produisent à leur tour des intérêts.
• Capital final : Montant obtenu après capitalisation sur toute la durée.
• Capital initial : Montant de départ avant toute capitalisation.

📝 Points essentiels

• Exemple : capital 10 000 € sur 4 ans à 12% donne 11 200 € puis 12 544 € puis 14 049 € puis 15 735,19 €.
• Formule des intérêts composés : $C_f=C_i\times (1+t)^n$.
• Dans l’exemple, $t=12\%$ et $n=4$ années, d’où $C_f=10\,000\times 1,12^4=15\,735,19\,EUR$.
• La capitalisation dépend de la fréquence : mensuelle, trimestrielle ou annuelle selon l’énoncé.
• Exemple : 100 000 € à 12% pendant 4 mois (capitalisation mensuelle) : $100\,000\times 1,01^4=104\,060,40\,EUR$.
• Exemple : 100 000 € à 12% pendant 5 ans et 9 mois (capitalisation annuelle) : $100\,000\times 1,12^{5,75}=191\,868,48\,EUR$.

💡 Astuce mémo

Composés = “on remet les intérêts dans le capital” : $C_f=C_i(1+t)^n$.

📖 6. Actualisation et valeur initiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Actualisation : Méthode qui ramène une valeur future à sa valeur équivalente à l’instant initial.
• Valeur initiale : Montant à l’instant 0 correspondant à une valeur future donnée.
• Valeur finale : Montant obtenu à la fin de la période, utilisé comme point de départ pour actualiser.
• Taux d’actualisation : Taux utilisé pour convertir une valeur future en valeur initiale.

📝 Points essentiels

• Formule d’actualisation : $C_i=C_f\times (1+t)^{-n}$.
• Exemple : valeur initiale de 133 822,55 € placés à 6% pendant 5 ans : $C_i=133\,822,55\times (1,06)^{-5}$.
• Le calcul donne $C_i=100\,000\,EUR$ dans l’exemple.
• Le signe “−n” traduit le fait qu’on remonte du futur vers le présent.
• L’actualisation inverse la capitalisation : on “divise” l’effet de $(1+t)^n$.
• On utilise le même taux et la même durée que pour la capitalisation correspondante.

💡 Astuce mémo

Actualiser = capitaliser à l’envers : $-n$ dans l’exposant.

📖 7. Remboursement d’un capital emprunté

🔑 Notions clés & Définitions

• Annuités : Suite de versements effectués à intervalle régulier pour rembourser un emprunt.
• Amortissement du capital : Part de chaque versement qui rembourse le capital emprunté.
• Intérêt : Part de chaque versement correspondant au coût du capital emprunté sur la période.
• Mensualité : Montant du versement lorsque l’intervalle de remboursement est le mois.

📝 Points essentiels

• Les annuités peuvent être annuelles, semestrielles, trimestrielles ou mensuelles selon l’intervalle choisi.
• Relation mensuelle : $m=A+I$ où $A$ est l’amortissement du capital et $I$ l’intérêt.
• Formule de mensualité : $m= C_0\times t\,/\,(1-(1+t)^{-n})$.
• Exemple : 120 000 € à 3% sur 15 ans donne mensualité 828,70 € (15 ans = 180 mois, $t_m=3\%/12=0,25\%$).
• Exemple : 240 000 € à 4,5% sur 20 ans : l’énoncé demande la mensualité (données fournies : 20 ans = 240 mois).
• Dans les tableaux, le capital restant dû diminue au fil des périodes selon la part $A$.

💡 Astuce mémo

Mensualité = “capital × taux / (1 − facteur)” : $m= C_0\,t/(1-(1+t)^{-n})$.

📖 8. Coût du crédit et capacité d’endettement

🔑 Notions clés & Définitions

• Coût du crédit : Montant total payé au titre de l’emprunt, incluant les intérêts et les frais annexes, diminué du capital emprunté.
• Frais de dossier : Somme ajoutée au coût total du crédit, fournie par l’énoncé.
• Capacité d’endettement : Part maximale des revenus consacrée aux mensualités d’emprunt.
• Mensualité maximale : Montant de mensualité autorisé par la capacité d’endettement.

📝 Points essentiels

• Définition du coût du crédit : total des versements + frais annexes − emprunt.
• Exemple : pour 120 000 € à 3% sur 15 ans, intérêts = 828,70×180 − 120 000 = 29 166 € (intérêts).
• Dans l’exercice couple : rémunération mensuelle 3 230 €, taux d’intérêt 1,3% trimestriel.
• Capacité d’endettement : mensualité maximale = 3 230 / 3 = 1 076,67 € (car l’énoncé donne une règle de division par 3).
• Conversion taux trimestriel → mensuel : $t_m=1,3/3=0,433\%$ (utilisé ensuite dans la formule de mensualité).
• Cas 20% : mensualité maximale = 3 230×0,20 = 646 € ; puis coût du crédit = mensualité×240 + 750 − emprunt (avec frais de 750 €).

💡 Astuce mémo

Coût du crédit = (mensualité×nb mois) + frais − emprunt.

📖 9. Tableaux d’emprunt : annuité, amortissement, in fine

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau d’emprunt : Tableau qui décompose chaque période en intérêts, remboursement du capital et capital restant dû.
• Annuité constante : Remboursement où la somme versée par période reste identique, tandis que la part intérêts et la part capital évoluent.
• Amortissement constant : Remboursement où la part de capital remboursée à chaque période est identique.
• Remboursement in fine : Remboursement où le capital est remboursé à la fin, tandis que les intérêts sont payés périodiquement.

📝 Points essentiels

• Trois types de remboursement : par annuité constante, par amortissement constant, et in fine.
• Pour annuité constante : amortissement du capital $A=a-I$ et intérêts $I=C_0\times t$ (exemple avec 3% et 5 ans).
• Annuité constante (exemple) : annuité calculée $a= C_0\,t/(1-(1+t)^{-n})=109\,177,29\,EUR$ pour 500 000 € sur 5 ans à 3%.
• Pour amortissement constant : amortissement constant vaut $C_0/n$ (exemple : 500 000/5 = 100 000 €) et intérêts $I=C_0\times t$.
• Pour in fine : intérêts constants calculés avec $I=C_0\times t$ et le capital restant dû reste identique jusqu’au dernier versement.
• Exercice fourni : emprunt 800 000 € sur 4 ans à 2% avec trois tableaux (annuité constante, amortissement constant, in fine) et capital restant dû à 0 à la fin.

💡 Astuce mémo

Annuité constante : $a$ fixe ; amortissement constant : $A$ fixe ; in fine : capital remboursé au dernier coup.

📊 Tableaux de synthèse

Intérêts simples vs intérêts composés

Caractéristique	Intérêts simples	Intérêts composés
Base de calcul	Capital initial	Capital qui inclut les intérêts déjà acquis
Effet du temps	Intérêts proportionnels au temps sans capitalisation	Intérêts produisent d’autres intérêts
Formule	$I=C\times t\times n/365$	$C_f=C_i(1+t)^n$
Résultat	Intérêt calculé sur la durée	Valeur finale calculée après capitalisation

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $t$ annuel et $t$ mensuel : la formule des intérêts simples exige un taux cohérent avec la durée.
2. Utiliser 365 alors que l’énoncé donne des dates : il faut d’abord déterminer le nombre de jours $n$ entre les dates.
3. Appliquer la formule des intérêts composés avec une capitalisation non précisée : la fréquence (mensuelle/trimestrielle/annuelle) change le résultat.
4. Mélanger capital restant dû et capital initial dans les intérêts d’un tableau : les intérêts de la période utilisent $C_0$ au début de période.
5. Oublier les frais de dossier dans le coût du crédit : ils s’ajoutent au total des versements avant de soustraire l’emprunt.
6. Confondre annuité constante et amortissement constant : dans le premier, c’est $a$ qui est fixe ; dans le second, c’est $A$ qui est fixe.

✅ Checklist Examen

1. Savoir appliquer le produit en croix pour résoudre une proportion et isoler l’inconnue.
2. Savoir calculer des intérêts simples avec $I=C\times t\times n/365$ à partir d’un capital, d’un taux et d’un nombre de jours.
3. Savoir convertir un taux annuel en taux mensuel (diviser par 12) et un taux trimestriel en taux annuel (multiplier par 4) pour réutiliser les formules.
4. Savoir calculer des intérêts de type livret A en découpant par périodes et en utilisant les dates de prise en compte (retrait/dépôt).
5. Savoir calculer une valeur acquise en intérêts composés avec $C_f=C_i(1+t)^n$ et interpréter la fréquence de capitalisation.
6. Savoir actualiser une valeur future en valeur initiale avec $C_i=C_f(1+t)^{-n}$.
7. Savoir calculer une mensualité avec $m= C_0\,t/(1-(1+t)^{-n})$ et convertir une durée en nombre de mois.
8. Savoir calculer le coût du crédit : total des versements + frais annexes − emprunt.
9. Savoir déterminer une capacité d’endettement en trouvant la mensualité maximale à partir des revenus et du pourcentage donné.
10. Savoir construire et lire un tableau d’emprunt pour annuité constante, amortissement constant et remboursement in fine en utilisant $I=C_0\times t$ et les relations $m=A+I$ ou $A=a-I$.