Hoja de repaso: Transformations géométriques fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Symétries axiale et centrale et construction des symétriques
2. Translation : définition et caractéristiques du vecteur translation
3. Rotation : définition, centre, angle et sens de rotation
4. Lien entre rotation de 180° et symétrie centrale
5. Propriétés communes des isométries : conservation des longueurs, angles, aires et alignement
6. Superposabilité des figures par translation et rotation
7. Définition des isométries comme transformations conservant la forme et la taille

📖 1. Symétries axiale et centrale et construction des symétriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Symétrie centrale : Transformation d’une figure par demi-tour autour d’un point O. Le point image d’un point C distinct de O est le point C’ tel que O soit le milieu du segment [CC’], et le point O est invariant.
• Symétrie axiale : Transformer une figure par symétrie axiale, c’est la ...vétorame...

📝 Points essentiels

• Dans une symétrie centrale de centre O, le point image d’un point C distinct de O est C’ tel que O soit le milieu du segment [CC’].
• Dans une symétrie centrale, le point O est invariant : le symétrique de O est O lui-même.
• • le symétrique d’un point C distinct de O est le point C’ tel que O est le ...milieu...

💡 À retenir

Dans une symétrie centrale de centre O, le point image d’un point C distinct de O est C’ tel que O soit le milieu du segment [CC’].

📖 2. Translation : définition et caractéristiques du vecteur translation

🔑 Notions clés & Définitions

• Translation : Transformation géométrique qui fait glisser une figure sans la tourner. Le déplacement associé est défini par une direction, un sens et une longueur, et il peut être schématisé par une flèche.
• Transformer une figure : Action géométrique qui consiste à faire passer une figure à son image par une transformation.

📝 Points essentiels

• Le vecteur translation se schématise par une flèche.
• Dans une translation, les flèches représentant le déplacement sont parallèles, de même sens et de même longueur.
• [Schéma d’une translation avec des points A, B, C, D, F1, F2, D’, A’ et flèches] Sa figure F2 est l’image de la figure F1 par la translation qui transforme le point A en A’.
• Sa figure F2 est l’image de la figure F1 par la translation qui transforme le point A en A’. Ses 4 flèches rouges sont parallèles, de même sens et de même longueur.

💡 À retenir

Le vecteur translation se schématise par une flèche.

📖 3. Rotation : définition, centre, angle et sens de rotation

🔑 Notions clés & Définitions

• Rotation : Transformation géométrique qui fait tourner une figure autour d’un point.
• Symétriques par rapport : C et C’ sont symétriques par rapport à O.

📝 Points essentiels

• Une rotation est définie par un centre, un angle et un sens de rotation.
• Le sens de rotation peut être horaire ou anti-horaire.
• Dans l’exemple donné, la figure F2 est l’image de la figure F1 par une rotation de centre O, de 110° dans le sens anti-horaire.
• Dans l’exemple donné, on a ∠BÔB’ = 110° et OB’ = OB.
• Transformer une figure par symétrie centrale, c’est la faire ...homme... d’un ...élément... autour d’un point O.

💡 À retenir

Une rotation fait tourner une figure autour d’un point, avec un centre, un angle et un sens. Dans l’exemple, la rotation de centre O et de 110° en sens anti-horaire conserve la longueur OB et donne un angle de 110°.

📖 4. Lien entre rotation de 180° et symétrie centrale

🔑 Notions clés & Définitions

• Schéma de deux figures symétriques : Représentation de deux figures placées de façon correspondante par rapport à un centre O.

📝 Points essentiels

• Une rotation de centre O et d’angle 180° est équivalente à une symétrie centrale de centre O.
• [Schéma de deux figures symétriques par rapport au centre O] [Schéma d’une rotation avec des points A, B, C, D, B’, D’ et centre O] Remarque : la rotation de centre O et d’angle 180° est la ...Symétrie de centre O...

💡 À retenir

À 180°, la rotation de centre O se confond avec la symétrie centrale de centre O. Le point image se place alors à l’opposé du point de départ, avec O comme milieu du segment reliant les deux points.

📖 5. Propriétés communes des isométries : conservation des longueurs, angles, aires et alignement

🔑 Notions clés & Définitions

• Avec des points : Des points peuvent être symétriques par rapport à un point de référence, et ce point est alors le milieu du segment qui les relie.

📝 Points essentiels

• Les symétries, la translation et la rotation conservent les longueurs.
• Les symétries, la translation et la rotation conservent les mesures d’angles.
• [Schéma d’une translation avec des points A, B, C, D, F1, F2, D’, A’ et flèches]

💡 À retenir

Les symétries, la translation et la rotation conservent les longueurs, les mesures d’angles, les aires et l’alignement. Dans une symétrie par rapport à O, O est le milieu du segment reliant deux points symétriques.

📖 6. Superposabilité des figures par translation et rotation

🔑 Notions clés & Définitions

• Image de la figure : Figure obtenue après l’application d’une translation ou d’une rotation à la figure initiale.

📝 Points essentiels

• Une figure et son image par une translation ou une rotation sont superposables.
• Sa figure F2 est l’image de la figure F1 par la rotation de centre O, de 110° dans le sens anti-horaire. On a : ∠BÔB’ = 110° OB’ = OB
• (horaire ou anti-horaire) [Schéma d’une rotation avec des points A, B, C, D, B’, D’ et centre O] Sa figure F2 est l’image de la figure F1 par la rotation de centre O, de 110° dans le sens anti-horaire.

💡 À retenir

Une translation ou une rotation produit une image superposable à la figure de départ. Les deux figures ont alors exactement la même forme et la même taille.

📖 7. Définition des isométries comme transformations conservant la forme et la taille

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformations du plan : ensemble de transformations étudiées dans le chapitre, à savoir les symétries, la translation et la rotation.
• Isométries : transformations du plan qui conservent la forme et la taille.
• Forme : caractéristique d’une figure qui reste inchangée avec la taille lorsqu’elle est conservée par une transformation.
• Appelle ces transformations du plan : expression utilisée pour désigner les transformations du plan qui ne déforment pas une figure.

📝 Points essentiels

• Les transformations du plan étudiées dans le chapitre sont les symétries, la translation et la rotation.
• On appelle isométries les transformations du plan qui conservent la forme et la taille.
• Le terme isométrie regroupe les transformations qui ne déforment pas une figure.

💡 À retenir

Le nom « isométrie » désigne la classe des transformations qui gardent une figure géométriquement identique. Une figure et son image par une translation ou une rotation sont superposables.

📊 Tableaux de Synthèse

Transformations du plan

Transformation	Définition	Caractéristiques
Symétrie centrale	Demi-tour autour d’un point O	Le point O est invariant
Translation	Fait glisser une figure sans la tourner	Déplacement défini par une direction, un sens et une longueur ; schématisé par une flèche
Rotation	Fait tourner une figure autour d’un point	Définie par un centre, un angle et un sens de rotation

Propriétés des isométries

Propriété	Transformations concernées	Conséquence
Longueurs	Symétries, translation, rotation	Conservées
Angles	Symétries, translation, rotation	Conservés
Aires et alignement	Symétries, translation, rotation	Conservés
Superposabilité	Translation, rotation	Figure image superposable à la figure de départ

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre symétrie centrale et symétrie axiale : la symétrie centrale est un demi-tour autour d’un point O.
2. Oublier que dans une symétrie centrale, le point O est invariant.
3. Confondre les caractéristiques d’une translation avec celles d’une rotation : la translation se décrit par direction, sens et longueur, pas par un centre et un angle.
4. Oublier qu’une rotation est définie par un centre, un angle et un sens de rotation.
5. Ne pas reconnaître qu’une rotation de 180° est équivalente à une symétrie centrale de centre O.
6. Oublier que les symétries, la translation et la rotation conservent longueurs, angles, aires et alignement.

✅ Checklist Examen

1. Définir la symétrie centrale comme un demi-tour autour d’un point O.
2. Savoir que le point O est invariant dans une symétrie centrale.
3. Construire le symétrique d’un point C avec O milieu de [CC’].
4. Définir la translation comme un glissement sans rotation.
5. Identifier direction, sens et longueur du vecteur translation.
6. Savoir qu’un vecteur translation se schématise par une flèche.
7. Définir la rotation par son centre, son angle et son sens.
8. Distinguer sens horaire et sens anti-horaire.
9. Retenir qu’une rotation de 180° est une symétrie centrale.
10. Connaître les propriétés conservées : longueurs, angles, aires et alignement.
11. Savoir qu’une translation ou une rotation rend les figures superposables.
12. Définir une isométrie comme une transformation qui conserve la forme et la taille.