Cuestionario: Analyse des variations et équations différentielles — 8 preguntas

1. Que permet d’indiquer le signe de la dérivée d’une fonction sur un intervalle ?

A. La parité de la fonction sur cet intervalle

B. Le sens de variation de la fonction sur cet intervalle

C. La valeur exacte de la fonction en chaque point

D. Le nombre de zéros de la fonction sur cet intervalle

Answer: (B)

Explicación

Le signe de la dérivée indique si la fonction est croissante ou décroissante sur l’intervalle. Les autres propositions ne sont pas déterminées par le seul signe de la dérivée.

2. Pour la fonction de dérivée y'(t)=6e^{-t}(1-t) sur [0,+∞[, quelle affirmation est correcte ?

A. La fonction croît sur tout l’intervalle

B. La fonction est constante sur tout l’intervalle

C. La fonction décroît sur [0,1] puis croît sur [1,+∞[

D. La fonction croît sur [0,1] puis décroît sur [1,+∞[

Answer: (D)

Explicación

Comme 6e^{-t} est toujours positif, le signe de y'(t) dépend de 1-t : il est positif avant 1 puis négatif après 1. Cela entraîne une croissance puis une décroissance.

3. Quelle est la signification géométrique de l’affixe d’un point dans le plan complexe ?

A. L’angle formé avec l’axe imaginaire positif

B. Le nombre complexe associé à sa position dans un repère

C. La distance du point à l’axe réel

D. La longueur du segment reliant le point à l’origine

Answer: (B)

Explicación

L’affixe d’un point est le nombre complexe qui représente sa position dans le plan. Les autres propositions décrivent un module, un argument ou une distance géométrique.

4. Si z_A=e^{ic0/3} et z_B=e^{-ic0/3}, quel est un argument de z_A/z_B ?

A. 0

B. 2c0/3

C. -c0/3

D. c0/3

Answer: (B)

Explicación

Le quotient ajoute les arguments : c0/3 - (-c0/3)=2c0/3. Les deux nombres ont le même module, donc le résultat porte sur l’angle.

5. Dans une équation logarithmique, quelle condition doit vérifier chaque argument de ln ?

A. Être différent de 1

B. Être strictement positif

C. Être nécessairement entier

D. Être supérieur ou égal à 0

Answer: (B)

Explicación

Un logarithme népérien n’est défini que pour un argument strictement positif. C’est pourquoi il faut d’abord déterminer le domaine de l’équation.

6. Sur ]1,+∞[, quelle transformation conduit à l’équation ln(x(x^2-1))=ln(2(x^2-1)) ?

A. Élever chaque membre au carré

B. Regrouper les logarithmes du membre gauche et du membre droit

C. Additionner les arguments à l’intérieur des logarithmes

D. Remplacer ln par l’identité

Answer: (B)

Explicación

On utilise ln(a)+ln(b)=ln(ab) et ln(A)-ln(B)=ln(A/B) pour regrouper les termes. Comme les arguments sont positifs sur ]1,+∞[, cette transformation est licite.

7. Comment réécrit-on l’équation différentielle y'=-y+2 sous une forme standard ?

A. y'-y=2

B. y= y'+2

C. y'+y=2

D. y'+2y=0

Answer: (C)

Explicación

On ajoute y aux deux membres pour obtenir y'+y=2. Cette écriture met en évidence le membre homogène et le second membre.

8. Quelle est la solution de y'+y=2 vérifiant y(0)=0 ?

A. y(t)=2e^{-t}

B. y(t)=2+2e^{-t}

C. y(t)=-2e^{-t}

D. y(t)=2-2e^{-t}

Answer: (D)

Explicación

La solution générale est y(t)=2+Ce^{-t}, puis la condition y(0)=0 donne C=-2. On obtient donc y(t)=2-2e^{-t}.