Cuestionario: Analyse du second degré et parabole — 10 preguntas

1. Quelle expression correspond à la forme canonique d’un trinôme du second degré ?

A. a(x-\alpha)^2+\beta

B. a(x+x_0)(x-x_0)

C. \Delta=b^2-4ac

D. ax^2+bx+c

Answer: (A)

Explicación

La forme canonique s’écrit toujours sous la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$. Les autres propositions désignent la forme développée, une factorisation particulière ou le discriminant.

2. Dans le trinôme $ax^2+bx+c$, quelle expression donne toujours la valeur de $\alpha$ dans la forme canonique ?

A. \alpha=\dfrac{b}{2a}

B. \alpha=\dfrac{c}{a}

C. \alpha=-\dfrac{\Delta}{4a}

D. \alpha=-\dfrac{b}{2a}

Answer: (D)

Explicación

On a toujours $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ pour passer à la forme canonique. Le discriminant intervient pour $\beta$, pas pour $\alpha$.

3. Lorsque le discriminant d’une équation du second degré est strictement positif, combien de solutions réelles admet-elle ?

A. Deux solutions réelles distinctes

B. Aucune solution réelle

C. Une seule solution réelle double

D. Une infinité de solutions réelles

Answer: (A)

Explicación

Si $\Delta>0$, l’équation du second degré admet exactement deux solutions réelles distinctes. Le cas d’une solution double correspond à $\Delta=0$.

4. Quelle est la solution d’une équation du second degré lorsque son discriminant est nul ?

A. $x_0=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

B. $x_0=\dfrac{b}{a}$

C. $x_0=-\dfrac{c}{a}$

D. $x_0=-\dfrac{b}{2a}$

Answer: (D)

Explicación

Quand $\Delta=0$, l’équation admet une unique solution réelle, appelée racine double, donnée par $x_0=-\dfrac{b}{2a}$. La formule avec le symbole $\pm$ correspond au cas $\Delta>0$.

5. Que signifie le fait qu’un réel $t$ soit une racine d’un polynôme $P$ ?

A. On a $t=0$

B. On a $P'(t)=0$

C. On a $P(t)=1$

D. On a $P(t)=0$

Answer: (D)

Explicación

Une racine est un réel qui annule le polynôme, donc $P(t)=0$. Ce n’est ni une condition sur la dérivée ni sur la valeur de $t$ elle-même.

6. Si un trinôme a deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$, quelle factorisation convient ?

A. $(x-x_1)(x-x_2)$

B. $a(x-x_1)(x-x_2)$

C. $a(x+x_1)(x+x_2)$

D. $a(x-x_1)^2$

Answer: (B)

Explicación

Avec deux racines réelles distinctes, un trinôme s’écrit $a(x-x_1)(x-x_2)$. Il faut conserver le facteur $a$ et utiliser les racines avec le signe opposé dans chaque facteur.

7. Pour un trinôme du second degré avec $\Delta>0$ et deux racines $x_1<x_2$, quel est le signe de la fonction entre les deux racines ?

A. Le signe opposé à celui de $a$

B. Toujours positif

C. Toujours négatif

D. Le même signe que celui de $a$

Answer: (A)

Explicación

Quand $\Delta>0$, le trinôme change de signe aux racines et prend entre elles le signe opposé à celui de $a$. À l’extérieur des racines, il a au contraire le signe de $a$.

8. Si $\Delta<0$, quel est le signe d’un polynôme du second degré sur l’ensemble des réels ?

A. Il s’annule en deux points

B. Le même signe que le coefficient $a$

C. Le signe opposé à celui de $a$

D. Il change de signe une fois

Answer: (B)

Explicación

Lorsque $\Delta<0$, le trinôme n’a pas de racine réelle et garde donc partout le signe de $a$. Il ne change pas de signe puisque aucun réel ne l’annule.

9. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, quelles sont les coordonnées du sommet de la parabole ?

A. $(\beta,\alpha)$

B. $(0,\beta)$

C. $(\alpha,0)$

D. $(\alpha,\beta)$

Answer: (D)

Explicación

Le sommet d’une parabole écrite sous forme canonique a pour coordonnées $(\alpha,\beta)$. La valeur $\alpha$ donne l’abscisse du sommet et $\beta$ son ordonnée.

10. Quelle est l’équation de l’axe de symétrie d’une parabole écrite sous la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

A. $y=\alpha$

B. $y=\beta$

C. $x=\alpha$

D. $x=\beta$

Answer: (C)

Explicación

L’axe de symétrie d’une parabole de forme canonique est la droite verticale $x=\alpha$. Cette droite passe par l’abscisse du sommet.