Cuestionario: Calcul des variations et extrema — 11 preguntas

1. Pour la fonction $f(x)=x^2$, quelle est la valeur de la dérivée en un point $a$ ?

A. $2x$

B. $a^2$

C. $2a$

D. $x^2$

Answer: (C)

Explicación

En calculant le taux d’accroissement puis sa limite quand $h\to 0$, on obtient pour tout $a$ la valeur $2a$. La réponse "$2x$" correspond à la fonction dérivée, pas à la valeur du nombre dérivé en $a$.

2. Qu'est-ce qu'un nombre dérivé dans le contexte de la calcul différentiel?

A. Le taux moyen de variation sur un intervalle donné.

B. Le nombre limite du taux d’accroissement quand $h$ tend vers 0, s'il existe.

C. La valeur de la fonction en un point précis.

D. La pente de la tangente à la courbe en ce point.

Answer: (B)

Explicación

Le nombre dérivé est défini comme la limite du taux d’accroissement lorsque $h$ tend vers 0, si cette limite existe, ce qui donne la pente instantanée en un point.

3. Que représente le quotient $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ dans le calcul de la dérivée ?

A. La valeur moyenne de $f$ sur tout son domaine

B. La dérivée seconde de $f$ en $a$

C. La pente de la tangente au point $a$

D. Le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$

Answer: (D)

Explicación

Ce quotient mesure la variation de la fonction sur un petit déplacement $h$, divisée par $h$ : c’est le taux d’accroissement. Sa limite quand $h\to 0$ donne le nombre dérivé.

4. Quel est le principe de base pour calculer le nombre dérivé d'une fonction en un point à partir du taux d’accroissement ?

A. Il suffit de calculer la variation de la fonction sur un intervalle voisin du point.

B. Il faut dériver la fonction en utilisant une formule de dérivation standard.

C. Il faut calculer la limite du taux d’accroissement lorsque h tend vers zéro, en simplifiant d’abord le quotient.

D. Il faut effectuer une approximation par la tangente à la courbe en ce point.

Answer: (C)

Explicación

Le nombre dérivé en un point est défini comme la limite du taux d’accroissement lorsque h tend vers zéro, ce qui représente la pente instantanée en ce point.

5. Que signifie l’expression « une fonction est dérivable sur un intervalle » ?

A. Elle est définie partout sur les réels

B. Elle admet un nombre dérivé en tout réel de cet intervalle

C. Elle possède une dérivée seulement en un point de l’intervalle

D. Elle est forcément une fonction polynôme

Answer: (B)

Explicación

Être dérivable sur un intervalle signifie être dérivable en chaque point de cet intervalle. Ce n’est pas suffisant qu’elle le soit en un seul point.

6. Quel est le rôle principal de la fonction dérivée d'une fonction?

A. Elle permet d'intégrer la fonction sur un intervalle.

B. Elle mesure la variation instantanée de la fonction à chaque point.

C. Elle donne la moyenne des valeurs de la fonction sur l'intervalle.

D. Elle calcule la valeur exacte de la fonction pour un x donné.

Answer: (B)

Explicación

La fonction dérivée indique la pente de la tangente à la courbe, ce qui correspond à la variation instantanée de la fonction en chaque point, essentielle pour analyser ses variations.

7. Si une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$, que désigne la notation $f'$ ?

A. La primitive de $f$ sur $I$

B. La fonction qui associe à chaque $x$ le nombre dérivé de $f$ en $x$

C. La pente moyenne de $f$ sur $I$

D. La fonction obtenue en multipliant $f$ par $x$

Answer: (B)

Explicación

La notation $f'$ désigne la fonction dérivée, c’est-à-dire celle qui à chaque $x$ associe le nombre dérivé de $f$ en $x$. La primitive est une notion différente.

8. Quelle étape précise a permis d'établir la formule de la dérivée de la fonction puissance $x^n$ pour tout entier naturel $n eq 0$ ?

A. L'identification de la formule par induction sur $n$. Kompetenz

B. L'utilisation de la règle de la puissance en différentiation.

C. L'application du théorème de la limite du taux d’accroissement.

D. L'observation de la dérivée de $x^2$ et de la règle de l'exponentiation.

Answer: (A)

Explicación

La formule générale $f'(x)=n x^{n-1}$ pour $x^n$ est obtenue par une démarche d’induction, en utilisant la dérivée de $x^2$ et la règle de la puissance pour les entiers naturels.

9. En quoi la dérivation d’un produit de deux fonctions diffère-t-elle de la dérivation d’une somme de fonctions ?

A. La dérivée d’un produit nécessite la formule $(uv)'=u'v+uv'$, tandis que celle d’une somme est simplement $u'+v'$.

B. La dérivée d’un produit nécessite de diviser par la fonction de dénominateur, ce qui n’est pas le cas pour la somme.

C. La dérivée d’un produit ne peut pas être calculée si l’une des fonctions est constante, contrairement à la somme.

D. La dérivée d’un produit est toujours nulle si l’une des fonctions est constante, alors que celle d’une somme ne l’est pas nécessairement.

Answer: (A)

Explicación

La dérivée d’un produit utilise la formule $(uv)'=u'v+uv'$, alors que celle d’une somme est simplement la somme des dérivées $u'+v'$, ce qui montre une différence fondamentale entre ces opérations.

10. Qui est crédité de l'introduction du concept de dérivée en lien avec la limite du taux d'accroissement ?

A. Gottfried Wilhelm Leibniz

B. Carl Friedrich Gauss

C. Joseph-Louis Lagrange

D. Isaac Newton

Answer: (A)

Explicación

Joseph-Louis Lagrange est crédité d'avoir formulé le concept de dérivée en relation avec la limite du taux d'accroissement, en utilisant une notation symbolique pour représenter cette idée.

11. Quelles sont les conséquences du changement de signe de la dérivée d'une fonction en un point critique sur la présence d'un extremum local ?

A. La fonction a une valeur minimale en ce point sans que la dérivée change de signe.

B. Un extremum n'existe que lorsque la dérivée reste positive ou négative autour du point.

C. L'existence d'une dérivée en ce point n'a pas d'impact sur l'existence d'un extremum.

D. La fonction atteint un extremum si la dérivée change de signe en ce point.

Answer: (D)

Explicación

Un changement de signe de la dérivée en un point critique indique un passage de la croissance à la décroissance ou inversement, ce qui caractérise un extremum local.