Cuestionario: Calcul différentiel : dérivées fondamentales — 7 preguntas

1. Quelle est la signification de la dérivée de la fonction g(x) = 1/x en un point x ≠ 0 ?

A. C'est la pente de la tangente à la graphique de 1/x en ce point.

B. C'est la valeur de la dérivée de 1/x en ce point, donnée par -1/x^2.

C. C'est la limite du taux de variation de 1/x lorsque h tend vers 0.

D. C'est la valeur de la fonction en ce point.

Answer: (B)

Explicación

La dérivée de 1/x en un point x ≠ 0 est donnée par la limite du taux de variation, qui vaut -1/x^2. La réponse correcte précise cette signification en lien avec la limite du taux de variation, qui définit la dérivée comme la pente de la tangente à la courbe en ce point.

2. Quelle est la dérivée de la fonction g : x ↦ 1/x ?

A. -1/x

B. -1/x^2

C. 1/x^2

D. 1/x

Answer: (B)

Explicación

La dérivée de la fonction g : x ↦ 1/x est g'(x) = -1/x^2, comme indiqué dans le contenu, obtenue en utilisant la limite du taux de variation lorsque h tend vers 0.

3. Quelle est la fonction principale de la dérivée du quotient dans le calcul différentiel ?

A. Permet de différencier le quotient de deux fonctions rationnelles en utilisant une formule spécifique

B. Donne la dérivée de la somme de deux fonctions en additionnant leurs dérivées

C. Permet de calculer la limite du taux de variation d'une fonction en un point donné

D. Facilite la dérivation de fonctions constantes multipliées par une fonction

Answer: (A)

Explicación

La dérivée du quotient est utilisée pour différencier le quotient de deux fonctions, en appliquant la formule (f/g)' = (f'g - g'f)/g². Elle est essentielle pour manipuler des fonctions rationnelles et leur taux de variation.

4. Quand la règle de la dérivée d'une constante et celle de la dérivée de la somme de fonctions ont-elles été établies dans leur forme moderne ?

A. Au 20ème siècle, avec l'ère informatique

B. Au 19ème siècle, avec Cauchy

C. Au 17ème siècle, avec Newton et Leibniz

D. Au 16ème siècle, avec Descartes

Answer: (C)

Explicación

La règle de la dérivée d'une constante a été connue dès la fin du 17ème siècle avec Newton et Leibniz, tandis que la règle de la dérivée de la somme a été formalisée plus tard, au 19ème siècle, lors du développement rigoureux du calcul différentiel par Cauchy. La chronologie correcte est donc que la règle de la constante a été établie en premier, suivie de celle de la somme.

5. En quoi la règle de la dérivée produit diffère-t-elle ou ressemble-t-elle à la règle de la dérivée somme ?

A. La dérivée produit concerne la différentiation du produit de deux fonctions, tandis que la dérivée somme concerne la somme des dérivées de deux fonctions.

B. La dérivée produit est une règle qui s'applique à la différentiation de la somme de deux fonctions, tandis que la dérivée somme concerne la différentiation du produit.

C. La dérivée produit concerne la différentiation du produit de deux fonctions, utilisant la règle de Leibniz, alors que la dérivée somme est la somme des dérivées, sans règle spécifique.

D. La dérivée produit s'applique uniquement aux fonctions constantes, alors que la dérivée somme s'applique à toutes les fonctions.

Answer: (C)

Explicación

La dérivée produit utilise la règle de Leibniz, qui différencie le produit de deux fonctions en la somme de deux termes, alors que la dérivée somme consiste simplement à différencier chaque fonction séparément et à additionner leurs dérivées. La différence principale réside dans la formule spécifique de la dérivée du produit, qui n'est pas simplement la somme des dérivées.

6. Qui est crédité de la formule de la dérivée du quotient ?

A. Gottfried Wilhelm Leibniz

B. Augustin-Louis Cauchy

C. Perroux

D. Isaac Newton

Answer: (B)

Explicación

La formule de la dérivée du quotient est généralement attribuée à Augustin-Louis Cauchy, qui a systématisé cette règle dans ses travaux sur le calcul différentiel.

7. Quelle est la cause principale qui explique la forme de la dérivée d'une composition avec une fonction affine g(x) = ax + b ?

A. La dérivée est la somme de la dérivée de la fonction extérieure et de la pente a.

B. La dérivée est indépendante de la pente a de la fonction affine.

C. La dérivée dépend uniquement de la fonction extérieure, sans tenir compte de g(x).

D. La dérivée est simplement la dérivée de la fonction extérieure évaluée en g(x), multipliée par la pente a de g.

Answer: (D)

Explicación

La dérivée d'une composition f(g(x)) où g(x) = ax + b est donnée par la règle de la chaîne : f'(g(x)) × g'(x). Comme g'(x) = a, la dérivée est donc la dérivée de f évaluée en g(x), multipliée par a, la pente de g. C'est cette relation qui explique la forme de la dérivée dans le cas d'une composition affine.