Cuestionario: Coordonnées et transformations en analyse multivariée — 12 preguntas

1. Dans un repère orthonormé direct du plan, comment s’écrivent les coordonnées cartésiennes d’un point à partir de ses coordonnées polaires ?

A. x = θ cos ρ et y = θ sin ρ

B. x = ρ cos θ et y = ρ sin θ

C. x = ρ^2 cos θ et y = ρ^2 sin θ

D. x = ρ sin θ et y = ρ cos θ

Answer: (B)

Explicación

En coordonnées polaires, le passage vers les coordonnées cartésiennes se fait par x = ρ cos θ et y = ρ sin θ. Les autres propositions permutent ou déforment incorrectement ces relations.

2. Quelle expression décrit une boule de centre (a,b,c) et de rayon r dans l’espace ?

A. |x-a| + |y-b| + |z-c| ≤ r

B. (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r

C. x^2 + y^2 + z^2 ≤ r

D. (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 ≤ r^2

Answer: (D)

Explicación

Une boule est l’ensemble des points dont la distance au centre est inférieure ou égale à r, d’où l’inégalité avec les carrés. L’égalité seule décrit le bord, pas l’intérieur.

3. Quel énoncé décrit correctement le domaine d’une fonction de plusieurs variables ?

A. L’ensemble des entrées pour lesquelles l’expression de la fonction a un sens

B. L’ensemble des points où la fonction atteint un maximum

C. L’ensemble des points où la fonction est nécessairement continue

D. L’ensemble des valeurs que la fonction peut prendre en sortie

Answer: (A)

Explicación

Le domaine est l’ensemble des entrées autorisées, c’est-à-dire les points où la fonction est définie. L’ensemble des sorties correspond à l’image, pas au domaine.

4. Que peut-on conclure à propos d’une fonction dérivable sur un domaine ?

A. Elle n’est continue qu’en certains points

B. Elle est continue sur ce domaine

C. Elle est forcément constante sur ce domaine

D. Elle n’a pas de dérivées partielles

Answer: (B)

Explicación

La dérivabilité implique la continuité. En revanche, la continuité seule ne suffit pas à garantir la dérivabilité.

5. Que signifie qu’une fonction soit de classe C1 sur un domaine ?

A. Elle est seulement continue, sans condition sur les dérivées

B. Ses dérivées partielles existent et sont continues sur ce domaine

C. Elle possède une primitive sur ce domaine

D. Elle admet uniquement des dérivées secondes continues

Answer: (B)

Explicación

Être de classe C1 ნიშნავს que toutes les dérivées partielles existent et sont continues sur le domaine. Ce n’est pas une condition sur les dérivées secondes.

6. Quelle forme correspond à la formule de Taylor-Young à l’ordre 1 pour une fonction différentiable en un point a ?

A. f(a+h)=df(a)(h)+o(‖h‖)

B. f(a+h)=f(a)+df(a)(h)+o(‖h‖)

C. f(a+h)=f(a)+df(a)(h)+O(‖h‖^2)

D. f(a+h)=f(a)+f'(a)h

Answer: (B)

Explicación

Le développement de Taylor-Young d’ordre 1 s’écrit comme la somme de la valeur au point, de la partie linéaire et d’un reste négligeable devant ‖h‖. La présence du terme f(a) est indispensable.

7. Que représente le gradient d’une fonction scalaire de plusieurs variables ?

A. La matrice des dérivées partielles d’une application vectorielle

B. Le nombre de variables dont dépend la fonction

C. La somme des dérivées secondes, mesurant la courbure locale

D. Le vecteur des dérivées partielles, indiquant la direction de plus forte variation

Answer: (D)

Explicación

Le gradient regroupe les dérivées partielles et indique la direction de variation maximale. La somme des dérivées secondes correspond plutôt au Laplacien.

8. Que décrit la matrice jacobienne d’un changement de coordonnées ?

A. La matrice des valeurs de la fonction aux points d’entrée

B. La matrice qui ne dépend que du point d’arrivée

C. La matrice des dérivées partielles qui gouverne la transformation des dérivées

D. La matrice des dérivées secondes de la fonction

Answer: (C)

Explicación

La jacobienne est la matrice des dérivées partielles associée à une application et sert à décrire comment les dérivées se transforment. Les dérivées secondes relèvent de la hessienne.

9. Pour une composée H(t)=f(t^2,3t), quelle est l’expression correcte de sa dérivée ?

A. H'(t)=∂x f(t^2,3t)·2t + ∂y f(t^2,3t)·3

B. H'(t)=f(t^2,3t)·(2t+3)

C. H'(t)=∂x f(t^2,3t)+∂y f(t^2,3t)

D. H'(t)=∂x f(t^2,3t)·3 + ∂y f(t^2,3t)·2t

Answer: (A)

Explicación

La règle de la chaîne donne la dérivée extérieure multipliée par la dérivée des variables intérieures, d’où les facteurs 2t et 3. Les autres choix oublient ces facteurs ou les associent incorrectement.

10. Que garantit le théorème de Schwarz pour une fonction suffisamment régulière ?

A. La positivité de la matrice hessienne

B. L’existence automatique d’un maximum local

C. L’annulation du gradient en tout point

D. L’égalité des dérivées secondes mixtes

Answer: (D)

Explicación

Sous les hypothèses de régularité suffisante, les dérivées secondes mixtes sont égales. Le théorème ne parle ni d’extrema ni de positivité de la hessienne.

11. Quand une fonction suffisamment régulière est-elle dite harmonique ?

A. Lorsque toutes ses dérivées premières sont nulles

B. Lorsque son Laplacien est nul

C. Lorsque son gradient est constant

D. Lorsque sa hessienne est diagonale

Answer: (B)

Explicación

Une fonction harmonique est caractérisée par l’annulation de son Laplacien sur le domaine. Une hessienne diagonale ou un gradient constant ne suffisent pas.

12. Quel critère hessien permet de conclure qu’un point critique est un minimum local strict ?

A. La hessienne est définie négative

B. Le gradient n’est pas nul

C. La hessienne est indéfinie

D. La hessienne est définie positive

Answer: (D)

Explicación

Si la hessienne est définie positive au point critique, la courbure est vers le haut et on obtient un minimum local. Une hessienne définie négative conduit au contraire à un maximum.