Cours sur la diagonalisation et la décomposition des endomorphismes

📋 Plan du Cours

1. Sous-espaces stables et vecteurs propres
2. Polynôme caractéristique et diagonalisation
3. Trigonalisation et polynôme minimal
4. Décomposition de Jordan
5. Formes bilinéaires et quadratiques
6. Produit scalaire et polynômes orthogonaux
7. Endomorphismes auto-adjoints et SVD
8. Isométries vectorielles et groupe orthogonal
9. Outils d'algèbre et de dénombrement
10. Matrices, rang et mineurs

📖 1. Sous-espaces stables et vecteurs propres

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-espace stable : Un sous-espace A est stable par un endomorphisme u lorsque l’image de tout vecteur de A par u reste dans A.
• Sous-espace cyclique : Le sous-espace cyclique Eu(x) est le plus petit sous-espace stable par u qui contient le vecteur x.
• Valeur propre : Une valeur propre λ de u est un scalaire pour lequel il existe un vecteur non nul x vérifiant u(x)=λx.
• Vecteur propre : Un vecteur propre associé à λ est un vecteur non nul x satisfaisant u(x)=λx.
• Sous-espace propre : Pour une valeur propre λ, le sous-espace propre Eλ=ker(u−λ idE) est l’ensemble des vecteurs vérifiant u(x)=λx et il est stable par u.

📝 Points essentiels