Hoja de repaso: Cours sur la résolution et l'analyse des trinômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonction polynôme du second degré
2. Forme canonique du trinôme
3. Parabole, sommet et variations
4. Discriminant du trinôme
5. Résolution des équations du second degré
6. Somme et produit des racines

📖 1. Fonction polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme : Un trinôme est une fonction polynôme de degré 2 qui s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a,b,c$ réels et $a\neq 0$.
• Coefficients du polynôme : Les coefficients du polynôme sont les réels $a$, $b$ et $c$ qui apparaissent dans l’écriture $ax^2+bx+c$.
• Forme factorisée : La forme factorisée est une écriture d’un trinôme sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$ ou, plus généralement, comme produit de facteurs linéaires.
• Forme développée : La forme développée est l’écriture d’un trinôme sous la forme $ax^2+bx+c$ après développement.

📝 Points essentiels

• Un trinôme est bien de degré 2 seulement si $a\neq 0$ dans $f(x)=ax^2+bx+c$.
• La forme développée correspond à l’expression $ax^2+bx+c$ obtenue après développement.
• La forme factorisée permet d’écrire un trinôme comme produit de facteurs linéaires, par exemple $2(x-1)(x+3)$.
• Exemple : $2(x-1)(x+3)=2x^2+4x-6$, ce qui vérifie la nature trinôme de $2x^2+4x-6$.
• Le degré 2 vient du fait que l’exposant de $x$ le plus élevé est 2 dans $ax^2+bx+c$.

💡 Astuce mémo

Développée = $ax^2+bx+c$ ; Factorisée = produit $(x-r_1)(x-r_2)$.

📖 2. Forme canonique du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme est une écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a\neq 0$.
• Paramètre alpha : Le paramètre $\alpha$ est la valeur $\alpha=-\frac{b}{2a}$ qui donne l’abscisse du sommet de la parabole.
• Paramètre bêta : Le paramètre $\beta$ est la valeur $\beta=f(\alpha)$, déterminée par $\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}$ dans la forme canonique.
• Sommet en forme canonique : Dans $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, le point de sommet est $S(\alpha;\beta)$, donc $\alpha$ et $\beta$ se lisent directement.

📝 Points essentiels

• Toute fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ peut se réécrire sous la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$.
• On a toujours $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$ pour obtenir la forme canonique.
• Dans la forme canonique, $\alpha$ correspond à la symétrie verticale et $\beta$ à l’ordonnée au sommet.
• Exemple : $2x^2+4x-6=2(x+1)^2-8$, donc $\alpha=-1$ et $\beta=-8$.
• La réécriture repose sur la mise sous la forme $a[(x+\frac{b}{2a})^2-\cdots]$ pour obtenir un carré parfait.

💡 Astuce mémo

$\alpha=-\frac{b}{2a}$ : c’est le “milieu” de $x$ pour le sommet.

📖 3. Parabole, sommet et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : La parabole est la courbe d’équation $y=a(x-\alpha)^2+\beta$ associée au trinôme en forme canonique.
• Sommet : Le sommet est le point $S(\alpha;\beta)$ où se trouve l’extrémité de la parabole.
• Axe de symétrie : L’axe de symétrie est la droite $x=\alpha$ qui partage la parabole en deux images miroir.
• Variations selon le signe de a : Les variations de $f$ dépendent du signe de $a$ : ouverture vers le haut ou vers le bas et décroissance/croissance associées.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, la parabole a pour équation $y=a(x-\alpha)^2+\beta$.
• Le sommet de la parabole est $S(\alpha;\beta)$ et son axe de symétrie est $x=\alpha$.
• Si $a>0$, la fonction est décroissante puis croissante autour de $\alpha$ avec un minimum au sommet.
• Si $a<0$, la fonction est croissante sur $]-\infty;\alpha]$ puis décroissante sur $[\alpha;+\infty[$ avec un maximum au sommet.
• Pour tout $t\in\mathbb{R}$, les points d’abscisses $\alpha-t$ et $\alpha+t$ ont la même ordonnée.

💡 Astuce mémo

$a>0$ : “bol vers le haut” (minimum) ; $a<0$ : “cap vers le bas” (maximum).

📖 4. Discriminant du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ est un nombre calculé à partir des coefficients du trinôme $ax^2+bx+c$.
• Forme canonique via le discriminant : Un trinôme admet une écriture canonique $a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}$ faisant apparaître $\Delta$.
• Signe du discriminant : Le signe de $\Delta$ indique le nombre de solutions réelles de l’équation $ax^2+bx+c=0$.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$, le discriminant vaut $\Delta=b^2-4ac$.
• On peut écrire $f(x)=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}$, ce qui relie directement la résolution à $\Delta$.
• Exemple : pour $f(x)=2x^2+4x-6$, on obtient $\Delta=64$ donc $\Delta>0$.
• Exemple : pour $g(x)=4x^2+4x+1$, on obtient $\Delta=0$ donc $\Delta=0$.
• Exemple : pour $h(x)=3x^2-x+5$, on obtient $\Delta=-59$ donc $\Delta<0$.

💡 Astuce mémo

$\Delta=b^2-4ac$ : “$b$ au carré moins $4ac$”.

📖 5. Résolution des équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Une équation du second degré est une équation qui s’écrit $ax^2+bx+c=0$ avec $a,b,c$ réels et $a\neq 0$.
• Racines : Les racines sont les valeurs de $x$ qui rendent vraie l’égalité $ax^2+bx+c=0$.
• Racine double : Une racine double est la unique solution obtenue quand le discriminant vaut $\Delta=0$.
• Résolution par le discriminant : Résoudre $ax^2+bx+c=0$ consiste à calculer $\Delta$ puis à choisir la formule adaptée selon le signe de $\Delta$.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a aucune solution réelle.
• Si $\Delta=0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ a une unique solution $x_0=-\frac{b}{2a}$.
• Si $\Delta>0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet deux solutions distinctes $x_{1,2}=-\frac{b\mp\sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Les solutions réelles correspondent aux abscisses des points d’intersection de la courbe de $f$ avec l’axe des abscisses.
• Exemple : pour $2x^2+4x-6=0$, on trouve $x_1=-3$ et $x_2=1$, donc $S=\{-3;1\}$.
• Exemple : pour $4x^2+4x+1=0$, on trouve $x_0=-\frac12$, donc $S=\{-\frac12\}$.

💡 Astuce mémo

$\Delta$ décide : négatif = 0 solution, nul = 1, positif = 2.

📖 6. Somme et produit des racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme des racines : La somme des deux racines $x_1$ et $x_2$ d’un trinôme vaut $S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$.
• Produit des racines : Le produit des deux racines $x_1$ et $x_2$ vaut $P=x_1x_2=\frac{c}{a}$.
• Équation avec $S$ et $P$ : Si deux nombres réels ont pour somme $S$ et produit $P$, ils sont solutions de $x^2-Sx+P=0$.
• Racine évidente : Une racine évidente est une solution simple à tester (par exemple parmi $1$, $-1$, $2$, $-2$) pour calculer la seconde rapidement.

📝 Points essentiels

• Si $f(x)=ax^2+bx+c$ admet deux racines $x_1$ et $x_2$, alors $S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$.
• Si $f(x)=ax^2+bx+c$ admet deux racines $x_1$ et $x_2$, alors $P=x_1x_2=\frac{c}{a}$.
• Si $x_1$ est connu pour $f$, alors $x_2$ se calcule par $x_2=\frac{P}{x_1}$ grâce au produit des racines.
• Exemple : pour $k(x)=2x^2+5x-7$, $1$ est racine et l’autre vérifie $1\cdot x_2=\frac{-7}{2}$, donc $x_2=-\frac{7}{2}$.
• Si deux réels ont somme 25 et produit 144, ils sont solutions de $x^2-25x+144=0$, donc les nombres sont 9 et 16.

💡 Astuce mémo

Somme = “-b sur a”, Produit = “c sur a”.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre forme factorisée et forme développée : la factorisée n’est pas forcément de la forme $ax^2+bx+c$.
2. Se tromper sur le signe de $a$ quand on déduit les variations : $a>0$ donne un minimum et $a<0$ donne un maximum.
3. Inverser les formules de solutions : pour $\Delta>0$, utiliser $-\frac{b\mp\sqrt{\Delta}}{2a}$ et pas $\frac{b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.
4. Oublier que $a\neq 0$ : si $a=0$, l’expression n’est plus une équation du second degré.
5. Confondre $\beta$ et $\alpha$ : $\alpha=-\frac{b}{2a}$ est l’abscisse, $\beta$ est l’ordonnée du sommet.
6. Penser que $\Delta$ positif signifie toujours “deux solutions entières” : il s’agit seulement de solutions réelles distinctes.
7. Mêler la somme des racines avec $-\frac{b}{2a}$ : $-\frac{b}{2a}$ donne $\alpha$ (sommet), pas directement la somme.

✅ Checklist Examen

1. Identifier si une fonction est un polynôme du second degré en vérifiant l’écriture $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
2. Passer d’une forme factorisée à une forme développée en effectuant le développement des produits.
3. Déterminer $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$ pour écrire la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
4. Écrire l’équation de la parabole associée en forme canonique : $y=a(x-\alpha)^2+\beta$.
5. Placer le sommet $S(\alpha;\beta)$ et donner l’axe de symétrie $x=\alpha$.
6. Décrire les variations de $f$ en fonction du signe de $a$ sur $]-\infty;\alpha]$ et $[\alpha;+\infty[$.
7. Pour une équation $ax^2+bx+c=0$, calculer le discriminant $\Delta=b^2-4ac$.
8. Conclure sur le nombre de solutions réelles selon le signe de $\Delta$ : 0, 1 ou 2 solutions réelles distinctes.
9. Donner les formules exactes des solutions quand $\Delta>0$ : $x_{1,2}=-\frac{b\mp\sqrt{\Delta}}{2a}$.
10. Trouver la solution unique quand $\Delta=0$ : $x_0=-\frac{b}{2a}$.
11. Utiliser que les solutions sont les abscisses des intersections avec l’axe des abscisses pour relier graphique et algèbre.
12. Calculer la somme des racines avec $S=-\frac{b}{a}$ et le produit avec $P=\frac{c}{a}$.
13. Si une racine est connue, calculer l’autre via le produit : $x_2=\frac{P}{x_1}$.
14. Résoudre le problème “somme $S$ et produit $P$” en écrivant $x^2-Sx+P=0$ puis en déterminant les solutions.