Dérivation et convexité

📋 Plan du Cours

1. Fonctions composées et notation
2. Dérivée d’une composée
3. Monotonie et dérivée seconde
4. Convexité définie par les sécantes
5. Convexité et tangentes
6. Convexité et dérivation
7. Inégalités par convexité
8. Points d’inflexion
9. Lecture et étude de courbes

📖 1. Fonctions composées et notation

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : Si u est définie sur I à valeurs dans J et v est définie sur J, la fonction composée v ∘ u est définie sur I par (v ∘ u)(x) = v(u(x)).

📝 Points essentiels

📌 La composition des fonctions n’est pas commutative : en général, v ∘ u ≠ u ∘ v.

📖 2. Dérivée d’une composée

★ À maîtriser

📌 Si u et v sont dérivables sur les intervalles appropriés, alors (v ∘ u)'(x) = v'(u(x)) × u'(x).

📐 Formule — Les dérivées usuelles sont $\left(u^n\right)'=nu'u^{n-1},\quad \left(\frac{1}{u}\right)'=-\frac{u'}{u^2},\quad (\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}},\quad (e^u)'=u'e^u,\quad \left(\frac{1}{u^n}\right)'=-\frac{nu'}{u^{n+1}}.$

Compléments

• Pour une fonction dérivable u et des constantes a, b, la dérivée de au+b est $au'.$

💡 Astuce mémo