Hoja de repaso: Équations et inéquations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Racines d’un polynôme du second degré
2. Forme factorisée et racines
3. Somme et produit des racines
4. Équations du second degré
5. Résolution selon le discriminant
6. Signe d’un polynôme
7. Résolution des inéquations

📖 1. Racines d’un polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un polynôme : F est un nombre réel x qui vérifie f(x)=0.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Les racines de f sont les abscisses des points d’intersection de sa courbe représentative avec l’axe des abscisses.

Compléments

• Pour f(x)=x²−3x−10, le nombre 5 est une racine car f(5)=0, ce qui signifie que la courbe coupe l’axe des abscisses en x=5.

💡 Astuce mémo

Racine = zéro de f

📖 2. Forme factorisée et racines

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Si x₁ est une racine d’un polynôme du second degré f(x)=ax²+bx+c avec a≠0, alors f est divisible par (x−x₁).

📐 Formule — Si un polynôme du second degré possède deux racines distinctes x₁ et x₂, sa forme factorisée est f(x)=a(x−x₁)(x−x₂).

• Un polynôme de degré 2 admet au plus deux racines réelles.

Compléments

📐 Formule — Si un polynôme du second degré possède une seule racine x₀, cette racine est double et f(x)=a(x−x₀)².

📌 Si un polynôme du second degré ne possède aucune racine réelle, il ne peut pas être factorisé en facteurs du premier degré à coefficients réels.

💡 Astuce mémo

Chaque racine fournit un facteur

📖 3. Somme et produit des racines

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour f(x)=ax²+bx+c ayant deux racines distinctes x₁ et x₂, leur somme vaut S=x₁+x₂=−b/a et leur produit vaut P=x₁x₂=c/a.

🔄 Processus — Lorsqu’une racine évidente est connue, l’autre peut être calculée avec x₁+x₂=−b/a ou x₁x₂=c/a.

📐 Formule — Si deux nombres x₁ et x₂ ont pour somme S et pour produit P, ils sont solutions de l’équation x²−Sx+P=0.

Compléments

• Pour f(x)=2x²−3x+1, 1 est une racine évidente et l’autre racine vaut 1/2, par la somme ou le produit des racines.

💡 Astuce mémo

S = −b/a, P = c/a

📖 4. Équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Une équation du second degré à une inconnue x est une équation qui s’écrit ax²+bx+c=0, avec a, b et c réels et a≠0.
• Discriminant : Du trinôme ax²+bx+c est le nombre Δ=b²−4ac.
• Résolution d’une équation : Résoudre une équation consiste à trouver tous les nombres réels qui vérifient l’égalité.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La forme canonique du trinôme ax²+bx+c est f(x)=a(x−α)²+β, avec α=−b/(2a) et β=−Δ/(4a).

💡 Astuce mémo

Calculer Δ avant les solutions

📖 5. Résolution selon le discriminant

📝 Points essentiels

📌 Si Δ<0, l’équation ax²+bx+c=0 n’a aucune solution réelle.

📐 Formule — Si Δ=0, l’équation possède une unique solution réelle x₀=−b/(2a).

📐 Formule — Si Δ>0, l’équation possède deux solutions réelles distinctes x₁=(−b−√Δ)/(2a) et x₂=(−b+√Δ)/(2a).

🔄 Processus — Pour résoudre une équation du second degré, on identifie a, b et c, on calcule Δ=b²−4ac, puis on applique le cas correspondant au signe de Δ.

💡 Astuce mémo

Δ− : aucune, Δ0 : une, Δ+ : deux

📖 6. Signe d’un polynôme

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Si Δ<0, le polynôme ax²+bx+c garde toujours le signe de a sur ℝ.

📌 Si Δ=0, f(x)=a(x−x₀)² et f a le signe de a partout, en s’annulant uniquement en x₀.

📌 Si Δ>0, f(x)=a(x−x₁)(x−x₂) et le signe de f est celui de a à l’extérieur des racines et l’opposé de celui de a entre les deux racines.

Compléments

📌 Pour Δ>0 et a>0, le signe est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles, tandis que pour a<0 les signes sont inversés.

• Pour f(x)=−4(x−5)(x+2), les racines sont −2 et 5 et le polynôme est négatif à l’extérieur de l’intervalle [−2,5] et positif entre les deux racines.

💡 Astuce mémo

Le signe extérieur dépend de a

📖 7. Résolution des inéquations

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — Pour résoudre une inéquation du second degré, on détermine les racines du polynôme, on établit son signe selon le signe de a et du discriminant, puis on sélectionne les intervalles correspondant à l’inégalité.

Compléments

• Pour résoudre g(x)<0 avec g(x)=3x²+6x−9, il faut rechercher les racines de g puis retenir les intervalles où le tableau de signes indique une valeur négative.

💡 Astuce mémo

Racines puis tableau de signes

📊 Tableaux de synthèse

Solutions selon le discriminant

Condition	Nombre de solutions	Expression
Δ<0	Aucune solution réelle	—
Δ=0	Une solution réelle	x₀=−b/(2a)
Δ>0	Deux solutions réelles distinctes	x₁=(−b−√Δ)/(2a), x₂=(−b+√Δ)/(2a)

Signe du trinôme

Discriminant	Signe de f	Racines
Δ<0	Signe constant égal à celui de a	Aucune
Δ=0	Signe de a, avec une annulation en x₀	Une racine double
Δ>0	Signe de a à l’extérieur, signe opposé entre les racines	Deux racines distinctes

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Une racine n’est pas une valeur quelconque de la fonction : elle annule f.
2. Le facteur associé à une racine x₁ est (x−x₁), et non (x+x₁).
3. La somme utilise −b/a, tandis que le produit utilise c/a.
4. Si a=0, l’équation n’est plus du second degré.
5. Δ<0 signifie absence de racine réelle, pas absence de solutions complexes dans un autre ensemble.
6. Le polynôme ne change pas de signe puisqu’il ne s’annule jamais.
7. Les racines sont incluses ou exclues selon que l’inégalité est large ou stricte.