Hoja de repaso: Fonctions linéaires et affines

📋 Plan du Cours

1. Fonction linéaire
2. Représentation graphique d’une fonction linéaire
3. Pourcentages et variations
4. Fonction affine
5. Représentation graphique d’une fonction affine

📖 1. Fonction linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction linéaire : Une fonction linéaire est une fonction de la forme $f(x)=ax$ où le coefficient $a$ est fixé.
• Coefficient a : Le coefficient $a$ est le nombre fixe qui multiplie $x$ dans l’expression d’une fonction linéaire.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est la fonction linéaire de coefficient $a=2$, alors $f(x)=2x$ et $f(5)=10$.
• Si $f$ est la fonction linéaire de coefficient $a=2$, alors $f(-3)=-6$.
• Quand $a=0$, on a $f(x)=0$ pour tout $x$.

💡 Astuce mémo

Coefficient directeur : $a$ multiplie $x$ comme un “facteur” ($f(x)=a\ imes x$).

📖 2. Représentation graphique d’une fonction linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite passant par l’origine : La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère.
• Coefficient directeur : Le coefficient directeur d’une droite $y=ax$ est le nombre $a$ de la fonction linéaire.

📝 Points essentiels

• La droite représentant $f(x)=ax$ a pour équation $y=ax$.
• Si $a=0$, la représentation de la fonction linéaire se confond avec l’axe des abscisses.

💡 Astuce mémo

Pour $y=ax$, la droite est “attachée” à l’origine : elle passe forcément par $(0;0)$.

📖 3. Pourcentages et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Réduction de t% : Une réduction de $t\%$ consiste à remplacer une quantité $Q$ par $Q\times\left(1-\frac{t}{100}\right)$.
• Augmentation de t% : Une augmentation de $t\%$ consiste à remplacer une quantité $Q$ par $Q\times\left(1+\frac{t}{100}\right)$.

📝 Points essentiels

• Pour réduire $t\%$ d’une quantité, on multiplie par $1-\frac{t}{100}$.
• Pour augmenter $t\%$ d’une quantité, on multiplie par $1+\frac{t}{100}$.
• Avec 760 élèves et une hausse de 5%, le nouvel effectif s’obtient en multipliant 760 par $1+\frac{5}{100}$.
• Après 20% de réduction, le prix payé vaut $\left(1-\frac{20}{100}\right)$ fois le prix initial pour 328 €.

💡 Astuce mémo

Réduction et augmentation : même logique, change seulement le signe de $\frac{t}{100}$.

📖 4. Fonction affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine est une fonction de la forme $g(x)=mx+p$ où $m$ et $p$ sont fixés.
• Ordonnée à l’origine p : L’ordonnée à l’origine $p$ est la valeur de la fonction quand $x=0$, égale ici à $p$.

📝 Points essentiels

• Si $p=0$, alors une fonction affine $g(x)=mx+p$ devient une fonction linéaire $g(x)=mx$.
• Pour une fonction affine $g(x)=mx+p$, la représentation admet l’équation $y=mx+p$.

💡 Astuce mémo

Affin = “linéaire + décalage” : $mx$ (pente) puis $+p$ (hauteur au départ).

📖 5. Représentation graphique d’une fonction affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation y=mx+p : L’équation $y=mx+p$ décrit une droite correspondant à une fonction affine.
• Coefficient directeur m : Le coefficient directeur $m$ d’une droite $y=mx+p$ est le facteur de $x$ dans l’expression.

📝 Points essentiels

• Si $m=0$, la droite $y=mx+p$ est parallèle à l’axe des abscisses.
• Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées s’écrit sous la forme $y=mx+p$ et représente donc une fonction affine.

💡 Astuce mémo

$m=0$ rend la pente nulle : droite parallèle à l’axe des abscisses.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la forme d’une fonction linéaire $ax$ et celle d’une fonction affine $mx+p$ : l’affine possède un “+ p”.
2. Penser que l’axe des abscisses correspond à n’importe quelle fonction linéaire : il faut $a=0$.
3. Se tromper de formule de pourcentage : une réduction utilise $1-\frac{t}{100}$ et une augmentation $1+\frac{t}{100}$.
4. Lire $p$ comme un coefficient directeur : $p$ est l’ordonnée à l’origine, tandis que c’est $m$ qui fixe l’inclinaison.
5. Croire que toute droite verticale est une fonction affine : une droite parallèle à l’axe des ordonnées n’a pas la forme $y=mx+p$.
6. Oublier que $f(x)=ax$ passe par l’origine : une représentation linéaire n’est pas une droite “décalée”.
7. Mélanger le signe dans les variations : une hausse de 5% ne s’évalue pas avec $1-\frac{5}{100}$.

✅ Checklist Examen

1. Donner la forme générale d’une fonction linéaire et écrire $f(x)=ax$.
2. Calculer une image à partir d’une fonction linéaire, par exemple avec $a=2$ pour $x=5$ et $x=-3$.
3. Énoncer la règle de la représentation graphique d’une fonction linéaire : droite passant par l’origine et équation $y=ax$.
4. Traiter le cas particulier $a=0$ pour la représentation graphique (confusion avec l’axe des abscisses).
5. Appliquer une réduction de $t\%$ en multipliant par $1-\frac{t}{100}$.
6. Appliquer une augmentation de $t\%$ en multipliant par $1+\frac{t}{100}$.
7. Utiliser les exemples numériques : hausse de 5% à partir de 760 élèves et calcul du nouveau total.
8. Utiliser les exemples numériques : retrouver le prix initial à partir de 328 € payé après 20% de réduction.
9. Donner la forme générale d’une fonction affine : $g(x)=mx+p$.
10. Relier fonction linéaire et fonction affine via le cas $p=0$.
11. Écrire l’équation de la droite correspondant à $g(x)=mx+p$ : $y=mx+p$.
12. Identifier le rôle de $m$ (coefficient directeur) et de $p$ (ordonnée à l’origine) sur le graphique.
13. Déterminer le cas $m=0$ : droite parallèle à l’axe des abscisses.
14. Expliquer pourquoi une droite non parallèle à l’axe des ordonnées admet une forme $y=mx+p$ et donc correspond à une fonction affine.