Cuestionario: Géométrie dans l'espace — 12 preguntas

1. Quelle donnée suffit, avec un point, pour déterminer une représentation paramétrique d’une droite de l’espace ?

A. Une équation du second degré

B. Un vecteur normal

C. Un vecteur directeur

D. Une distance à l’origine

Answer: (C)

Explicación

Une droite de l’espace est déterminée par un point et un vecteur directeur, qui fixe sa direction. Un vecteur normal sert plutôt pour les plans.

2. Dans une écriture paramétrique d’une droite passant par A(xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur (a ; b ; c), que représentent les coordonnées x, y et z ?

A. Les coefficients d’une équation cartésienne du plan

B. Les distances du point à trois axes

C. Les coordonnées d’un point de la droite exprimées en fonction d’un paramètre réel

D. Les composantes d’un vecteur normal

Answer: (C)

Explicación

Les coordonnées d’un point de la droite s’écrivent en fonction d’un paramètre réel t. La forme est x=xA+at, y=yA+bt, z=zA+ct.

3. Quand peut-on conclure que deux droites de l’espace sont parallèles ?

A. Lorsque leurs vecteurs directeurs sont colinéaires

B. Lorsque leurs points de départ ont la même ordonnée

C. Lorsque leurs équations contiennent le même paramètre

D. Lorsque leurs vecteurs directeurs sont de norme égale

Answer: (A)

Explicación

Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. L’égalité des normes ou des paramètres ne suffit pas.

4. Quel calcul permet de tester si deux droites sont orthogonales ?

A. Le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs

B. La somme de leurs coordonnées

C. Le déterminant de leurs équations

D. La distance entre leurs points de départ

Answer: (A)

Explicación

Deux droites sont orthogonales lorsque le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul. Les autres calculs ne donnent pas directement cette information.

5. Que représente le triplet (a, b, c) dans l’équation cartésienne ax+by+cz=0 d’un plan ?

A. Un point appartenant au plan

B. Un vecteur directeur du plan

C. Un vecteur normal au plan

D. Une translation du plan

Answer: (C)

Explicación

Les coefficients a, b et c forment un vecteur normal au plan. Ce vecteur est orthogonal à toutes les directions contenues dans le plan.

6. Quelle forme décrit l’équation cartésienne d’un plan dans ce cadre ?

A. x²+y²+z²=1

B. x=at+b, y=ct+d, z=et+f

C. ax²+by²+cz²=0

D. ax+by+cz=0

Answer: (D)

Explicación

Dans cette représentation, un plan s’écrit sous la forme ax+by+cz=0. Cette écriture permet d’identifier directement son vecteur normal.

7. Quand deux plans sont-ils parallèles ?

A. Lorsque leurs équations ont la même constante

B. Lorsque leurs vecteurs normaux sont colinéaires

C. Lorsque leurs droites d’intersection sont perpendiculaires

D. Lorsque leurs vecteurs normaux sont de norme égale

Answer: (B)

Explicación

Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires. Cela signifie qu’ils ont la même orientation.

8. Quel résultat obtient-on en général lorsque deux plans sécants sont mis sous forme de système ?

A. Un point unique

B. Une droite d’intersection

C. Aucune solution

D. Deux droites parallèles

Answer: (B)

Explicación

Deux plans sécants ont une infinité de points communs alignés, ce qui forme une droite d’intersection. On l’obtient en résolvant le système des deux équations.

9. Quel critère permet de savoir qu’une droite coupe un plan en un point unique ?

A. Le plan contient déjà un point de la droite

B. Le point de la droite a une abscisse positive

C. Son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal du plan

D. Son vecteur directeur n’est pas orthogonal au vecteur normal du plan

Answer: (D)

Explicación

Si le produit scalaire entre le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal du plan est non nul, la droite coupe le plan en un point unique. Si ce produit était nul, la droite serait parallèle au plan.

10. Comment trouve-t-on le point d’intersection entre une droite et un plan ?

A. En additionnant les coordonnées du point de la droite

B. En calculant uniquement la distance entre la droite et le plan

C. En substituant l’expression paramétrique de la droite dans l’équation du plan

D. En comparant les normes du vecteur directeur et du vecteur normal

Answer: (C)

Explicación

On remplace les coordonnées paramétriques de la droite dans l’équation du plan, puis on résout le paramètre. Cela donne le point d’intersection unique lorsqu’il existe.

11. Quelle condition sur le vecteur directeur d’une droite permet d’affirmer qu’elle coupe un plan en un point unique ?

A. Il est colinéaire au vecteur normal du plan

B. Son produit scalaire avec le vecteur normal du plan est nul

C. Il est orthogonal à une direction du plan

D. Son produit scalaire avec le vecteur normal du plan est non nul

Answer: (D)

Explicación

Si le vecteur directeur de la droite n’est pas orthogonal au vecteur normal du plan, la droite n’est pas parallèle au plan et le coupe en un point unique. Un produit scalaire nul indiquerait au contraire une direction parallèle au plan.

12. Comment détermine-t-on les coordonnées du point d’intersection entre une droite et un plan ?

A. On calcule la distance minimale entre un point de la droite et le plan

B. On remplace la paramétrisation de la droite dans l’équation du plan pour trouver le paramètre

C. On égalise les vecteurs normaux de la droite et du plan

D. On résout uniquement les deux premières coordonnées sans vérifier la troisième

Answer: (B)

Explicación

On écrit la droite sous forme paramétrique, puis on impose que ses coordonnées vérifient l’équation du plan afin d’obtenir la valeur du paramètre. La substitution donne ensuite directement le point d’intersection.