Hoja de repaso: Géométrie des Droites en Deux Dimensions

📋 Plan du Cours

1. Équation réduite d’une droite
2. Pente et ordonnée à l’origine
3. Équation réduite à partir de deux points
4. Parallélisme de deux droites
5. Vecteurs directeurs d’une droite
6. Équation cartésienne d’une droite
7. Positions relatives de deux droites
8. Résolution de systèmes d’équations

📖 1. Équation réduite d’une droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation réduite : Une équation réduite est une forme de l’équation d’une droite qui isole soit $x$, soit $y$, selon l’orientation de la droite.
• Droite parallèle à l’axe des ordonnées : Une droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation réduite de la forme $x=k$ et coupe l’axe des abscisses en $(k,0)$.
• Fonction affine : Une droite non parallèle à l’axe des ordonnées correspond à une fonction affine $f(x)=mx+p$.
• Représentation graphique : La représentation graphique d’une fonction affine est une droite dont l’équation s’écrit sous la forme $y=mx+p$.

📝 Points essentiels

• Si une droite est parallèle à l’axe des ordonnées et coupe l’axe des abscisses en $(k,0)$ alors son équation réduite est $x=k$.
• Si une droite n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées alors elle admet une équation réduite unique de la forme $y=mx+p$.
• Dans la forme $y=mx+p$, la droite est l’ensemble des points $M(x;y)$ vérifiant $y=mx+p$.
• Dans la forme $x=k$, la droite est l’ensemble des points $M(x;y)$ vérifiant $x=k$.
• Une droite non verticale correspond à une fonction affine $f(x)=mx+p$ dont la courbe est la droite.

💡 Astuce mémo

Verticale (parallèle à l’axe des ordonnées) ⇒ $x$ fixé ; oblique ⇒ $y$ = affine.

📖 2. Pente et ordonnée à l’origine

🔑 Notions clés & Définitions

• Pente : La pente est le coefficient directeur $m$ qui mesure la variation de $y$ quand $x$ augmente de 1 dans l’équation $y=mx+p$.
• Coefficient directeur : Le coefficient directeur est le nombre $m$ associé à une droite écrite sous la forme $y=mx+p$.
• Ordonnée à l’origine : L’ordonnée à l’origine est le nombre $p$ qui est la valeur de $y$ lorsque $x=0$ pour une droite $y=mx+p$.
• Ordonnée à l’origine de la droite : L’ordonnée à l’origine est la constante $p$ apparaissant dans l’équation réduite $y=mx+p$.

📝 Points essentiels

• Dans $y=mx+p$, $m$ est appelé pente ou coefficient directeur de la droite.
• Dans $y=mx+p$, $p$ est appelé ordonnée à l’origine de la droite.
• L’ordonnée à l’origine correspond à la valeur de $y$ au point où $x=0$ (intersection avec l’axe des ordonnées).
• La pente $m$ détermine l’inclinaison de la droite dans la représentation graphique.
• Pour une droite verticale $x=k$, la notion de pente $m$ n’est pas utilisée dans la forme $y=mx+p$.

💡 Astuce mémo

$m$ pour “montée” (inclinaison) et $p$ pour “passage” par $y$ quand $x=0$.

📖 3. Équation réduite à partir de deux points

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation réduite à partir de deux points : Établir l’équation réduite d’une droite consiste à déterminer $m$ et $p$ à partir de deux points distincts de la droite.
• **Condition $x_A \neq x_B** : Quand deux points distincts ont des abscisses différentes, la droite est non parallèle à l’axe des ordonnées et s’écrit$y=mx+p$.
• **Condition $x_A = x_B** : Quand deux points distincts ont la même abscisse, la droite est parallèle à l’axe des ordonnées et s’écrit$x=x_A$.
• Coefficient directeur par deux points : Le coefficient directeur $m$ peut être calculé à partir de deux points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ avec $x_A\neq x_B$.

📝 Points essentiels

• Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ sont distincts et $x_A\neq x_B$ alors la droite a une équation réduite $y=mx+p$.
• Dans ce cas, $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.
• Dans ce cas, $p=y_A-m\times x_A$.
• Si $x_A=x_B$ alors l’équation réduite de la droite est $x=x_A$ (droite verticale).
• Les deux cas couvrent toutes les situations pour deux points distincts : verticale ou non verticale.

💡 Astuce mémo

Deux points : abscisses différentes ⇒ formule de $m$ ; abscisses égales ⇒ $x$ constant.

📖 4. Parallélisme de deux droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Parallélisme : Deux droites sont parallèles lorsqu’elles ont la même direction et ne se coupent pas.
• Coefficient directeur commun : Le coefficient directeur commun est la même valeur de $m$ dans les équations réduites $y=mx+p$ de deux droites non verticales.
• Droites non parallèles à l’axe des ordonnées : On parle de droites non verticales lorsqu’elles admettent une équation réduite de type $y=mx+p$.
• Droites verticales : Une droite verticale est parallèle à l’axe des ordonnées et s’écrit $x=k$.

📝 Points essentiels

• Pour deux droites $d$ et $d'$ non parallèles à l’axe des ordonnées, elles sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
• Si deux droites ont des équations $y=m x+p$ avec le même $m$, alors elles sont parallèles (dans le cadre non vertical).
• Si deux droites ont des équations $y=m x+p$ avec des $m$ différents, elles ne sont pas parallèles (dans le cadre non vertical).
• Deux droites verticales $x=k$ et $x=k'$ sont parallèles si $k\neq k'$ (elles ne se confondent pas).
• Dans les exemples, $y=3x+4$ et $y=3x+9$ ont le même $m=3$ donc elles sont parallèles.

💡 Astuce mémo

Même $m$ ⇒ même direction (donc parallèles), à condition d’être non verticales.

📖 5. Vecteurs directeurs d’une droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : Un vecteur directeur d’une droite est un vecteur non nul porté par la direction de cette droite, obtenu comme différence entre deux points de la droite.
• Vecteur $\overrightarrow{AB}$ : Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur d’une droite si $A$ et $B$ appartiennent à cette droite et sont distincts.
• Direction d’une droite : La direction d’une droite est celle de n’importe quel vecteur directeur associé à cette droite.
• Colinéarité des vecteurs directeurs : Tous les vecteurs directeurs d’une même droite sont colinéaires entre eux.

📝 Points essentiels

• Dire qu’un vecteur non nul $\overrightarrow{u}$ est directeur d’une droite $d$ signifie qu’il existe deux points distincts $A$ et $B$ de $d$ tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$.
• La direction de la droite $d$ est la direction du vecteur directeur $\overrightarrow{u}$.
• Une droite admet une infinité de vecteurs directeurs.
• Si $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur alors tous les autres sont de la forme $k\overrightarrow{u}$ avec $k$ réel non nul.
• Tous les vecteurs directeurs d’une droite sont colinéaires entre eux.

💡 Astuce mémo

Directeur = “flèche” entre deux points de la droite ; tous les directeurs sont des multiples.

📖 6. Équation cartésienne d’une droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation cartésienne : Une équation cartésienne d’une droite est une forme $ax+by+c=0$ qui décrit l’ensemble de ses points.
• Vecteur directeur associé : Le vecteur directeur associé à $ax+by+c=0$ est $\overrightarrow{u}=(-b,a)$.
• Théorème direct : Le théorème direct relie l’existence d’une droite à une équation cartésienne et à un vecteur directeur construit à partir des coefficients.
• Théorème réciproque : Le théorème réciproque affirme que l’ensemble des solutions de $ax+by+c=0$ (avec $a\neq0$ ou $b\neq0$) forme une droite.

📝 Points essentiels

• Toute droite $d$ admet une équation de la forme $ax+by+c=0$.
• Pour $ax+by+c=0$, un vecteur directeur de la droite est $\overrightarrow{u}=(-b,a)$.
• Réciproquement, si $a,b,c$ sont réels avec $a\neq0$ ou $b\neq0$, alors les points vérifiant $ax+by+c=0$ forment une droite.
• Une droite admet une infinité d’équations cartésiennes car elle admet une infinité de vecteurs directeurs.
• Une droite admet une unique équation réduite, mais plusieurs équations cartésiennes.

💡 Astuce mémo

Cartésienne $ax+by+c=0$ ⇒ directeur $(-b,a)$.

📖 7. Positions relatives de deux droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Droites parallèles : Deux droites sont parallèles si elles ont la même direction, donc leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
• Droites sécantes : Deux droites sécantes se coupent en un point, ce qui correspond à des vecteurs directeurs non colinéaires.
• Vecteurs directeurs non colinéaires : Des vecteurs directeurs non colinéaires caractérisent deux droites sécantes.
• Droites confondues : Deux droites confondues sont identiques, ce qui correspond à un système ayant une infinité de solutions.

📝 Points essentiels

• Deux droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs $\overrightarrow{u_1}$ et $\overrightarrow{u_2}$ sont colinéaires.
• Deux droites $d_1$ et $d_2$ sont sécantes si et seulement si $\overrightarrow{u_1}$ et $\overrightarrow{u_2}$ ne sont pas colinéaires.
• Un système $\{ax+by=c\;\; a'x+b'y=c'\}$ décrit les points appartenant simultanément aux deux droites.
• Le système admet un unique couple solution lorsque les droites sont sécantes.
• Le système n’admet aucun couple solution lorsque les droites sont parallèles et non confondues.
• Le système admet une infinité de couples solutions lorsque les droites sont confondues.

💡 Astuce mémo

Colinéaires ⇒ parallèles ; non colinéaires ⇒ sécantes ; et le système suit : 0 / 1 / ∞ solutions.

📖 8. Résolution de systèmes d’équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Système de deux équations : Un système de deux équations est un ensemble de contraintes simultanées sur les coordonnées $(x;y)$.
• Interprétation géométrique : Résoudre un système revient à déterminer l’ensemble des points communs aux deux droites associées aux équations.
• Intersection unique : Une intersection unique correspond à un système ayant une seule solution et à deux droites sécantes.
• Aucune solution : Aucune solution correspond à deux droites parallèles et non confondues.

📝 Points essentiels

• Résoudre $\{ax+by=c\;\; a'x+b'y=c'\}$ revient à trouver les couples $(x;y)$ tels que le point appartienne aux deux droites.
• Si les droites sont sécantes alors le système a exactement une solution.
• Si les droites sont parallèles et non confondues alors le système n’a aucune solution.
• Si les droites sont confondues alors le système a une infinité de solutions.
• Les exemples demandent de déterminer soit le point d’intersection, soit la solution du système puis d’en donner l’interprétation géométrique.

💡 Astuce mémo

Système ⇔ points communs : 1 point (sécantes), 0 point (parallèles), ∞ points (confondus).

📊 Tableaux de synthèse

Parallélisme via coefficient directeur

Droites non verticales	Condition	Conclusion
$d$ et $d'$	Même coefficient directeur $m$	Parallèles
$d$ et $d'$	Coefficients directeurs différents	Non parallèles

Solutions d’un système et positions relatives

Situation géométrique	Nombre de solutions	Interprétation
Sécantes	1	Intersection unique
Parallèles non confondues	0	Aucun point commun
Confondue	∞	Tous les points communs

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre droite verticale $x=k$ (équation réduite en $x$) et droite non verticale $y=mx+p$ (équation réduite en $y$).
2. Calculer $m$ avec $x_A=x_B$ : dans ce cas la droite est verticale et l’équation réduite est $x=x_A$.
3. Oublier que la condition de parallélisme par “même coefficient directeur” est donnée pour des droites non parallèles à l’axe des ordonnées.
4. Prendre un vecteur directeur comme n’importe quel vecteur : il doit être égal à $\overrightarrow{AB}$ pour deux points distincts de la droite.
5. Interpréter le système sans lien géométrique : le nombre de solutions correspond directement à parallèle/sécant/confondue.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire l’équation réduite d’une droite verticale sous la forme $x=k$ à partir de son point d’intersection avec l’axe des abscisses.
2. Savoir écrire l’équation réduite d’une droite non verticale sous la forme $y=mx+p$ et identifier $m$ (pente) et $p$ (ordonnée à l’origine).
3. Savoir déterminer $m$ et $p$ à partir de deux points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ quand $x_A\neq x_B$.
4. Savoir déterminer l’équation réduite $x=x_A$ quand deux points distincts ont la même abscisse.
5. Savoir décider si deux droites non verticales sont parallèles en comparant leurs coefficients directeurs.
6. Savoir utiliser la définition d’un vecteur directeur : $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ avec $A$ et $B$ sur la droite.
7. Savoir passer d’une équation cartésienne $ax+by+c=0$ à un vecteur directeur $(-b,a)$.
8. Savoir décider si deux droites sont parallèles ou sécantes à partir de la colinéarité/non-colinéarité de leurs vecteurs directeurs.
9. Savoir interpréter un système de deux équations comme l’ensemble des points communs aux deux droites.
10. Savoir associer au système : 1 solution ⇔ sécantes, 0 solution ⇔ parallèles non confondues, ∞ solutions ⇔ confondues.