Introduction à la dérivée en analyse mathématique

1. 📌 L'essentiel

• La dérivée en un point est la limite du taux de variation : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h - f(a)}{h}$
• La dérivée indique la pente de la tangente en un point
• La formule de la tangente en $a :$y = f'(a)(x - a) + f(a)$
• La dérivée de $x^n$ : $f'(x) = n x^{n-1}$
• La dérivée de $1/x$ : $f'(x) = -1/x^2$
• La dérivée d'une constante : zéro
• La dérivée d'une fonction affine sans pente : zéro
• La limite du taux de variation quand $h \to 0$ donne la dérivée
• La dérivée permet d'étudier croissance ou décroissance locale

2. 🧩 Structures & Composants clés

• Fonction : règle associant chaque $x$ à un $f(x)$
• Taux de variation : $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$, mesure la variation moyenne
• Limite : valeur approchée de la dérivée en $a$ lorsque $h \to 0$
• Tangente : droite qui touche la courbe en un point, avec pente $f'(a)$
• Formules de dérivation :
  • $f(x) = x \Rightarrow f'(x) = 1$
  • $f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n x^{n-1}$
  • $f(x) = 1/x \Rightarrow f'(x) = -1/x^2$
  • $f(x) = c \Rightarrow f'(x) = 0$