Fonction d’une variable réelle à valeurs vectorielles : Fonction 𝑓 : 𝐼 ⊂ ℝ → 𝐹, où 𝐹 est un ℝ-evn. Elle est dérivable en 𝑎 si le taux d’accroissement 1/𝑡 (𝑓(𝑎 + 𝑡) − 𝑓(𝑎)) admet une limite finie ℓ lorsque 𝑡 → 0, cette limite étant la dérivée vectorielle 𝑓′(𝑎).
Fonction dérivable : Fonction 𝑓 : 𝐼 ⊂ ℝ → 𝐹 est dite dérivable si elle l’est en tout point de 𝐼. La fonction dérivée 𝑓′ : 𝐼 → 𝐹 associe à chaque 𝑡 la dérivée en ce point.
Fonction coordonnées dans une base : Si 𝐵 = (𝑒1, ..., 𝑒𝑝) est une base de 𝐹, alors 𝑓 possède des fonctions coordonnées 𝑓1, ..., 𝑓𝑝, telles que 𝑓(𝑡) = ∑ 𝑓𝑘(𝑡) 𝑒𝑘.
Dérivée d’une fonction dérivable : Si 𝑓 est dérivable, alors 𝑓′(𝑡) = ∑ 𝑓𝑘′(𝑡) 𝑒𝑘.
Propriété de linéarité : Pour 𝑓, 𝑔 : 𝐼 → 𝐹 dérivables, et 𝜆 ∈ ℝ, la fonction 𝜆𝑓 + 𝑔 est dérivable avec (𝜆𝑓 + 𝑔)′(𝑡) = 𝜆𝑓′(𝑡) + 𝑔′(𝑡).
Différentielle d’une fonction : Si 𝑓 admet un développement limité à l’ordre 1 en 𝑎, alors il existe une application linéaire 𝑢 : 𝐸 → 𝐹 telle que 𝑓(𝑎 + ℎ) = 𝑓(𝑎) + 𝑢(ℎ) + ‖ℎ‖ 𝜀(ℎ), avec 𝜀(ℎ) → 0 lorsque ℎ → 0.
1. Quelle caractéristique fondamentale définit la dérivée vectorielle d'une fonction en un point ?
2. Qui a formulé la notion de développement limité en un point comme approche locale d'une fonction ?
3. En quoi la notion de différentiabilité en plusieurs variables diffère-t-elle de celle de dérivées partielles ?
Dérivation fonction vectorielle — définition ?
Limite du taux d’accroissement, limite finie ℓ
Développement limité en un point — rôle ?
Approximer localement une fonction par une linéaire plus un terme négligeable
Dérivées partielles — concept clé ?
Dérivée selon une variable en un point
Matrice Jacobienne — fonction ?
Représente la différentielle locale d’une fonction
Différentiabilité — lien avec continuité ?
Implication : toute fonction différentiable est continue
Fonctions de classe C1 — caractéristique ?
Dérivées partielles existent, sont continues
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