Cuestionario: Introduction à la géométrie, suites et dérivées — 14 preguntas

1. Pour un trinôme du second degré, quel nombre permet de savoir s’il a zéro, une ou deux racines réelles ?

A. Le discriminant Δ = b² − 4ac

B. La valeur de β dans la forme canonique

C. Le coefficient a

D. Le sommet de la parabole

Answer: (A)

Explicación

Le discriminant Δ = b² − 4ac détermine l’existence et la nature des racines réelles. Les autres éléments décrivent la parabole, mais ne suffisent pas à conclure sur le nombre de solutions.

2. Lorsque le discriminant d’un trinôme est positif, quelle forme factorisée peut-on écrire ?

A. a(x − α)²

B. (x − x1)² + (x − x2)²

C. a(x² + bx + c)

D. a(x − x1)(x − x2)

Answer: (D)

Explicación

Si Δ > 0, le trinôme admet deux racines réelles distinctes x1 et x2 et se factorise en a(x − x1)(x − x2). La forme a(x − α)² correspond au cas Δ = 0.

3. Dans une suite géométrique de raison q, comment obtient-on le terme suivant à partir du terme précédent ?

A. En multipliant toujours par le même nombre non nul

B. En ajoutant toujours la même quantité

C. En divisant toujours par le même nombre

D. En soustrayant toujours la même quantité

Answer: (A)

Explicación

Une suite géométrique se définit par le fait qu’on passe d’un terme au suivant en multipliant par une raison q non nulle. L’ajout d’une quantité constante caractérise une suite arithmétique.

4. Quelle formule exprime correctement le terme général d’une suite arithmétique de raison r ?

A. u_n = u_0 × r^n

B. u_n = u_p + (n − p)r

C. u_n = u_p × q^(n − p)

D. u_n = u_0 + qn

Answer: (B)

Explicación

Pour une suite arithmétique, le terme général est u_n = u_p + (n − p)r, et en particulier u_n = u_0 + nr. La formule avec une puissance correspond à une suite géométrique.

5. Que représente le nombre dérivé f′(a) pour une fonction dérivable en a ?

A. La limite du taux d’accroissement quand h tend vers 0

B. La pente de l’axe des abscisses

C. La différence f(a+h) − f(a)

D. La valeur moyenne de f sur un intervalle

Answer: (A)

Explicación

Le nombre dérivé f′(a) est défini comme la limite du taux d’accroissement lorsque h tend vers 0. C’est cette limite qui mesure la variation instantanée de la fonction en a.

6. Quelle est l’équation réduite de la tangente à la courbe d’une fonction f au point d’abscisse a ?

A. y = f(a)(x − a) + f′(a)

B. y = f(a)x + f′(a)

C. y = f′(a)x + a

D. y = f′(a)(x − a) + f(a)

Answer: (D)

Explicación

L’équation de la tangente en a est y = f′(a)(x − a) + f(a). Elle passe par le point (a ; f(a)) et son coefficient directeur est f′(a).

7. Comment s’écrit la probabilité conditionnelle de B sachant A, lorsque P(A) est non nul ?

A. P(B) / P(A ∩ B)

B. P(A ∩ B) × P(A)

C. P(A) / P(A ∩ B)

D. P(A ∩ B) / P(A)

Answer: (D)

Explicación

Par définition, la probabilité conditionnelle de B sachant A est P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A), avec P(A) ≠ 0. Elle exprime la probabilité de B parmi les cas où A est réalisé.

8. Quelle relation caractérise deux événements indépendants ?

A. P(A ∩ B) = P(A) + P(B)

B. P(A ∪ B) = P(A)P(B)

C. P(A ∩ B) = P(A)P(B)

D. P_A(B) = P(A)

Answer: (C)

Explicación

Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre, ce qui se traduit par P(A ∩ B) = P(A)P(B). La formule additive concerne une autre situation.

9. Quel critère sur la dérivée permet de conclure qu’une fonction est strictement croissante sur un intervalle ?

A. Sa dérivée est négative sur l’intervalle

B. Sa dérivée est nulle en tout point de l’intervalle

C. Sa dérivée est positive sur l’intervalle, sauf éventuellement en des zéros isolés

D. Sa dérivée change de signe à chaque point

Answer: (C)

Explicación

Si f′ est positive sur l’intervalle, hors zéros isolés, alors f est strictement croissante sur cet intervalle. Une dérivée négative conduirait au contraire à une décroissance.

10. Que peut-on conclure si la dérivée d’une fonction est nulle en tout point d’un intervalle ?

A. La fonction admet deux tangentes en chaque point

B. La fonction est strictement croissante

C. La fonction est constante

D. La fonction est strictement décroissante

Answer: (C)

Explicación

Si f′(x) = 0 pour tout x de l’intervalle, alors la fonction est constante sur cet intervalle. C’est un cas particulier important de l’étude des variations par la dérivée.

11. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle ?

A. Elle vérifie exp'(x)=x·exp(x) et exp(0)=0

B. Elle vérifie exp'(x)=exp(x) et exp(0)=1

C. Elle vérifie exp'(x)=exp(x)+1 et exp(0)=1

D. Elle vérifie exp'(x)=1/exp(x) et exp(1)=0

Answer: (B)

Explicación

La fonction exponentielle est définie comme la fonction dérivable sur ℝ qui vérifie exp'(x)=exp(x) et exp(0)=1. Les autres propositions mélangent cette propriété avec d’autres règles de dérivation ou des valeurs fausses.

12. Quelle est la dérivée de la fonction x↦e^{ax+b}, avec a et b réels ?

A. x↦(ax+b)e^{ax+b}

B. x↦b e^{ax+b}

C. x↦a e^{ax+b}

D. x↦e^{ax+b}+a

Answer: (C)

Explicación

La dérivée de x↦e^{ax+b} est bien x↦a e^{ax+b}, car on applique la dérivation de l’exponentielle composée avec la dérivée de ax+b. Le coefficient b n’intervient pas comme facteur multiplicatif.

13. Quelle est l’équation cartésienne d’un cercle de centre (a,b) et de rayon R ?

A. (x-a)^2+(y-b)^2=R^2

B. (x-a)+(y-b)=R^2

C. x^2+y^2=a^2+b^2+R^2

D. (x+a)^2+(y+b)^2=R

Answer: (A)

Explicación

Un cercle de centre (a,b) et de rayon R s’écrit toujours sous la forme (x-a)^2+(y-b)^2=R^2. Les autres expressions ne traduisent pas correctement la distance au centre.

14. Pour l’équation x^2+y^2-2x+4y+1=0, quel est le centre du cercle ?

A. (-1,2)

B. (2,-1)

C. (-2,1)

D. (1,-2)

Answer: (D)

Explicación

En complétant les carrés, on obtient (x-1)^2+(y+2)^2=4, donc le centre est (1,-2). Le rayon vaut 2, mais la question porte uniquement sur le centre.