Introduction à la loi binomiale

📋 Plan du Cours

1. Loi binomiale
2. Variable aléatoire
3. Loi de Bernoulli
4. Loi de probabilité
5. Distribution binomiale

📖 1. Loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : Loi de probabilité discrète qui modélise le nombre de succès dans une suite de n essais indépendants de Bernoulli, chacun ayant une probabilité p de succès.
• Variable aléatoire : Variable dont la valeur dépend du résultat d'une expérience aléatoire. La loi binomiale est une loi de cette nature.
• Essais de Bernoulli : Expériences à deux issues possibles (succès ou échec) avec une probabilité p de succès.
• Paramètres :
  • n : nombre d'essais.
  • p : probabilité de succès lors d’un seul essai.
• Formule de la probabilité :
  $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
  où $k$ est le nombre de succès, $\binom{n}{k}$ le coefficient binomial.

📝 Points essentiels

• La loi binomiale permet de calculer la probabilité d’obtenir exactement k succès en n essais.
• La moyenne (espérance) : $E(X) = np$.
• La variance : $\text{Var}(X) = np(1-p)$.
• La loi binomiale est une distribution discrète, souvent utilisée pour modéliser des situations de tirages ou d’échantillonnage avec succès/échec.
• La loi de Bernoulli est un cas particulier de la loi binomiale avec $n=1$.
• La loi binomiale peut être approchée par la loi normale lorsque n est grand, selon le théorème central limite.

💡 À retenir