Hoja de repaso: Introduction au calcul intégral

📋 Plan du Cours

1. Unité d’aire et définition de l’intégrale
2. Notation de l’intégrale et bornes
3. Calcul d’une intégrale par aire
4. Encadrement par rectangles
5. Intégrales de fonctions de signe quelconque
6. Primitive définie par une intégrale
7. Calcul d’intégrales avec primitives
8. Linéarité, positivité et comparaison

📖 1. Unité d’aire et définition de l’intégrale

🔑 Notions clés & Définitions

• Unité d’aire : L’unité d’aire est l’aire choisie comme référence, ici celle d’un rectangle de côtés 1 et 1, notée 1 u.a.
• Intégrale (aire sous la courbe) : L’intégrale d’une fonction continue et positive sur [a,b] est l’aire (en u.a.) de la surface délimitée par la courbe, l’axe des abscisses, et x=a, x=b.

📝 Points essentiels

• Dans le repère donné, le rectangle rouge a des dimensions 1 sur 1, donc son aire vaut 1 u.a.
• Si l’aire du rectangle vert vaut 8 fois celle du rectangle rouge, alors cette aire vaut 8 u.a.
• Pour f continue et positive sur [a,b], l’intégrale correspond à l’aire de la région comprise entre la courbe de f, l’axe des abscisses et les droites x=a et x=b.

💡 Astuce mémo

1 u.a. = 1×1 : l’intégrale mesure une aire en “multiples” de cette référence.

📖 2. Notation de l’intégrale et bornes

🔑 Notions clés & Définitions

• Bornes d’intégration : Les bornes d’intégration sont les deux réels a et b qui fixent l’intervalle [a,b] où l’aire est calculée.
• Variable d’intégration : La variable d’intégration est la lettre notée dans l’intégrande, qui peut être remplacée par une autre sans changer la valeur, si elle ne prête pas à confusion.
• Notation de Leibniz : La notation ∫ … dx (ou dt) indique que l’intégrale correspond à une somme infinie d’aires élémentaires.

📝 Points essentiels

• L’intégrale de f sur [a,b] s’écrit sous la forme ∫_a^b f(x) dx et se lit « intégrale de a à b de f(x) dx ».
• Les bornes a et b sont appelées bornes d’intégration, et x est la variable d’intégration.
• Changer x en t dans ∫_a^b f(x) dx donne ∫_a^b f(t) dt, car le rôle de la variable est seulement d’indiquer la différence d’aire.
• Le symbole ∫ et la notation ∫ f(x) dx sont dus à Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 ; 1716).
• Bernhard Riemann (1826 ; 1866) a établi une théorie aboutie du calcul intégral.

💡 Astuce mémo

Leibniz : le “S allongé” → la somme d’aires, puis on “intègre jusqu’à b”.

📖 3. Calcul d’une intégrale par aire

🔑 Notions clés & Définitions

• Calcul d’intégrale par dénombrement : Calculer une intégrale par aire consiste à compter/mesurer l’aire de la surface sous la courbe délimitée par les droites d’abscisses des bornes.
• Encadrement par aire : Un encadrement par aire consiste à majorer et minorer l’aire sous la courbe pour obtenir une valeur approchée de l’intégrale.

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=x^2+1, l’aire entre x=-2 et x=1 et l’axe des abscisses s’écrit ∫_-2^1 (x^2+1) dx.
• Dans la méthode par calcul d’aire, l’intégrale ∫ f(x) dx sur [a,b] revient à l’aire de la surface délimitée par la courbe, l’axe des abscisses et x=a, x=b.
• Pour f(x)=1/2 x+3 sur [-1,5], le calcul par dénombrement donne ∫_-1^5 (1/2 x+3) dx = 24 u.a.

💡 Astuce mémo

Intégrale par aire = “surface sous la courbe” entre les deux verticales des bornes.

📖 4. Encadrement par rectangles

🔑 Notions clés & Définitions

• Rectangle inférieur : Un rectangle inférieur est un rectangle de largeur l dont la hauteur utilise f à gauche (ou f(x) sur le sous-intervalle) pour que son aire reste sous l’aire exacte.
• Rectangle supérieur : Un rectangle supérieur est un rectangle de largeur l dont la hauteur utilise f à droite (ou f(x+l) sur le sous-intervalle) pour que son aire reste au-dessus de l’aire exacte.

📝 Points essentiels

• Si f est continue, positive et monotone sur [a,b], on découpe [a,b] en n sous-intervalles de largeur l=(b-a)/n.
• Sur un sous-intervalle [x,x+l], l’aire est comprise entre l·f(x) et l·f(x+l) pour l’encadrement par rectangles.
• Sur [a,b], l’aire est comprise entre la somme des n rectangles inférieurs et la somme des n rectangles supérieurs.
• En augmentant n, l’encadrement se resserre et la précision s’améliore.
• Avec f(x)=x^2 sur [1,2], l’encadrement obtenu donne 2,31 < ∫_1^2 x^2 dx < 2,35.

💡 Astuce mémo

Monotone + découpage : gauche donne le “petit”, droite donne le “grand”, et l’écart diminue quand n augmente.

📖 5. Intégrales de fonctions de signe quelconque

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de signe quelconque : Une intégrale de signe quelconque permet de traiter des zones où la fonction est positive et d’autres où elle est négative, sans changer la définition générale.
• Aire signée : Quand f prend des valeurs négatives, l’aire sous l’axe des abscisses contribue à l’intégrale avec un signe négatif.

📝 Points essentiels

• Si f est continue et négative sur [a,b], l’aire délimitée par la courbe, l’axe, et x=a, x=b vaut −∫_a^b f(x) dx.
• Si, sur [a,b], on a f(x)≤g(x), alors ∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b g(x) dx se déduit via f−g.
• La relation de Chasles s’écrit ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx.
• Cas “borne inversée” : ∫_a^b f(x) dx = 0? non ; en revanche le cours donne ∫_a^b f(x) dx = −∫_b^a f(x) dx.
• Une intégrale peut être nulle sans que la fonction soit nulle, par exemple ∫_-1^1 x^3 dx = 0 via la symétrie de x^3.

💡 Astuce mémo

Chasles : “du a à b = du a à c + du c à b”, et le signe suit la position par rapport à l’axe.

📖 6. Primitive définie par une intégrale

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Une primitive de f sur [a,b] est une fonction F telle que F est définie pour tout x de [a,b] et que sa dérivée redonne f.
• Primitive qui s’annule en a : Dans le théorème du cours, la primitive construite par une intégrale est choisie pour vérifier F(a)=0.

📝 Points essentiels

• Si f est continue sur [a,b], la fonction F définie par F(x)=∫_a^x f(t) dt est une primitive de f.
• La primitive ainsi définie s’annule en a, car F(a)=∫_a^a f(t) dt = 0.
• Le cours montre que F′(x)=f(x) en encadrant la différence F(x+h)−F(x) par deux aires lorsque h>0 puis avec un raisonnement analogue pour h<0.
• Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.

💡 Astuce mémo

Construire une primitive : “je cumule l’aire depuis a” et j’obtiens F, puis F′ retombe sur f.

📖 7. Calcul d’intégrales avec primitives

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème fondamental (calcul par primitive) : Si F est une primitive de f, alors l’intégrale de f entre a et b se calcule comme différence F(b)−F(a).
• Écriture par crochets : L’expression [F(x)]_a^b signifie prendre F(b) puis soustraire F(a), ce qui correspond exactement à F(b)−F(a).

📝 Points essentiels

• Si F est une primitive de f, alors ∫_a^b f(x) dx = F(b)−F(a).
• Si G(x)=∫_a^x f(t) dt, alors G′(x)=f(x) et G est une primitive de f sur [a,b].
• Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante, ce qui permet de retrouver F(b)−F(a) quelle que soit la primitive choisie.
• Définition pratique : ∫_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b)−F(a).
• Exemple A : ∫_1^4 (3x^2+1) dx = 9/4 d’après une primitive adaptée au calcul des valeurs en 4 et 1.

💡 Astuce mémo

Différence de primitive : “b moins a” = l’aire via F, pas besoin de raisonner rectangle par rectangle.

📖 8. Linéarité, positivité et comparaison

🔑 Notions clés & Définitions

• Linéarité : La linéarité exprime que l’intégrale transforme les combinaisons linéaires de fonctions en combinaisons linéaires des intégrales.
• Positivité : Quand une fonction est non négative sur [a,b], l’intégrale correspondante est aussi non négative.
• Comparaison : La comparaison utilise l’inégalité point à point entre deux fonctions pour obtenir une inégalité entre leurs intégrales.

📝 Points essentiels

• Linéarité avec un réel k : ∫_a^b k f(x) dx = k ∫_a^b f(x) dx.
• Linéarité avec somme : ∫_a^b (f(x)+g(x)) dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b g(x) dx.
• Positivité : si pour tout x∈[a,b], f(x)≥0, alors ∫_a^b f(x) dx ≥ 0.
• Comparaison : si pour tout x∈[a,b], f(x)≥g(x), alors ∫_a^b f(x) dx ≥ ∫_a^b g(x) dx.
• Méthode d’encadrement : si 0≤e^{x}−1? non ; en exemple, le cours déduit 0≤∫_0^1 e^{x}−? dx? et conclut 0≤∫_0^1 e^{x?} dx≤e−1 en utilisant l’encadrement de la fonction.

💡 Astuce mémo

Trois outils : linéarité (on distribue), positivité (ça reste ≥0), comparaison (≤ reste ≤ après intégration).

📅 Repères chronologiques

Date	Événement
1696	Jacques Bernoulli reprend le mot latin integer pour désigner le calcul intégral
1646 ; 1716	Gottfried Wilhelm von Leibniz (auteur de la notation ∫)
1826 ; 1866	Bernhard Riemann établit une théorie aboutie du calcul intégral

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’unité d’aire 1 u.a. (aire de référence) avec l’unité de la fonction : l’intégrale mesure une aire, donc l’unité dépend de la conversion (ex : cm²).
2. Oublier que l’intégrale de f (et non de f−g) correspond à l’aire signée : une fonction négative donne une intégrale négative (et l’aire est reliée à −∫).
3. Changer la variable d’intégration sans faire attention à garder les bornes identiques : ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^b f(t) dt, mais pas ∫_a^b f(t) dt sur un autre intervalle.
4. Croire qu’une intégrale nulle impose f nulle : le cours donne l’exemple avec une fonction impaire sur un intervalle symétrique.
5. Utiliser “b moins a” sans vérifier que F est bien une primitive de f sur l’intervalle demandé.
6. Multiplier les rectangles : l’encadrement par rectangles suppose f continue et monotone, sinon les inégalités l·f(x) et l·f(x+l) ne garantissent plus l’ordre.

✅ Checklist Examen

1. Donner l’interprétation géométrique de ∫_a^b f(x) dx pour une fonction continue et positive sur [a,b].
2. Définir l’unité d’aire et savoir passer de l’aire en u.a. à une unité comme cm² lorsque l’unité de longueur est précisée.
3. Lire correctement ∫_a^b f(x) dx, identifier les bornes d’intégration et la variable d’intégration.
4. Réécrire une intégrale en remplaçant la variable d’intégration (x par t) sans changer les bornes.
5. Calculer une intégrale par calcul d’aire à partir d’un graphique et des droites x=a et x=b.
6. Construire un encadrement par rectangles pour f continue, positive et monotone : découper en n, l=(b-a)/n, utiliser l·f(x) et l·f(x+l).
7. Traiter le cas où f change de signe en utilisant la relation de Chasles et la décomposition par zones par rapport à l’axe.
8. Énoncer que toute fonction continue admet des primitives et appliquer le théorème F(x)=∫_a^x f(t) dt.
9. Calculer ∫_a^b f(x) dx à partir d’une primitive F : F(b)−F(a), et savoir utiliser l’écriture [F(x)]_a^b.
10. Appliquer la linéarité : mettre en facteur k et distribuer sur une somme de fonctions.
11. Appliquer positivité et comparaison : déduire le signe ou un ordre entre intégrales à partir d’inégalités point à point sur [a,b].