Hoja de repaso: Introduction au repérage dans le plan et l’espace

📋 Plan du Cours

1. Repère du plan
2. Coordonnées d’un point
3. Lecture et placement de points
4. Repère de l’espace
5. Coordonnées dans un pavé
6. Milieux d’arêtes et points repères
7. Exercices de lecture des coordonnées

📖 1. Repère du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère du plan : Un repère du plan est défini par un triplet de points (O ; I ; J) avec O origine et deux axes matérialisés par (OI) et (OJ).
• Origine du repère : L’origine du repère est le point O où les droites (OI) et (OJ) se coupent et où commencent les mesures des coordonnées.
• Axe des abscisses : L’axe des abscisses est la droite (OI), orientée par la direction O→I, et son unité vaut OI = 1.
• Axe des ordonnées : L’axe des ordonnées est la droite (OJ), orientée par la direction O→J, et son unité vaut OJ = 1.

📝 Points essentiels

• Dans un repère (O ; I ; J), les droites (OI) et (OJ) se coupent en O, origine du repère.
• L’abscisse se mesure sur (OI) avec l’unité donnée par la longueur OI = 1.
• L’ordonnée se mesure sur (OJ) avec l’unité donnée par la longueur OJ = 1.
• Tout point M du plan s’écrit avec un couple de coordonnées (xM ; yM).

📖 2. Coordonnées d’un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Abscisse : L’abscisse xM est le nombre associé au point M sur l’axe des abscisses (OI).
• Ordonnée : L’ordonnée yM est le nombre associé au point M sur l’axe des ordonnées (OJ).
• Couple de coordonnées : Le couple de coordonnées d’un point du plan est (xM ; yM).

📝 Points essentiels

• Un point M du plan est repéré par le couple (xM ; yM).
• L’abscisse xM correspond à la lecture sur l’axe des abscisses.
• L’ordonnée yM correspond à la lecture sur l’axe des ordonnées.

📖 3. Lecture et placement de points

🔑 Notions clés & Définitions

• Lecture des coordonnées : La lecture des coordonnées consiste à déterminer (x ; y) d’un point à partir de sa position dans le repère.
• Placement de points : Le placement de points consiste à placer un point dont on connaît ses coordonnées dans le repère.
• Même abscisse : Deux points ont la même abscisse s’ils ont la même valeur x sur l’axe des abscisses.
• Même ordonnée : Deux points ont la même ordonnée s’ils ont la même valeur y sur l’axe des ordonnées.

📝 Points essentiels

• Les points à placer sont E(−4 ; 2), F(2 ; 0) et G(−1 ; −5).
• Pour placer H, on garde la même abscisse que F et la même ordonnée que B.
• Pour placer K, on garde la même abscisse que I et la même ordonnée que J.
• Lire les coordonnées de O, I, J, A, B, C et D consiste à déterminer leurs couples (x ; y).

📖 4. Repère de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Repérage dans l’espace : Le repérage dans l’espace permet de donner à chaque point d’un pavé un triplet de coordonnées (x ; y ; z) à partir d’un repère construit sur un sommet.
• Parallélépipède rectangle : Un parallélépipède rectangle (ou un cube) est un volume utilisé pour définir un repère spatial via trois arêtes issues d’un sommet.
• Repère de l’espace : Un repère de l’espace est formé par un sommet et les trois arêtes partant de ce sommet.
• Origine dans l’espace : L’origine dans le repère spatial est le sommet choisi pour le repère, qui correspond à (0 ; 0 ; 0) dans l’exemple.

📝 Points essentiels

• Dans un parallélépipède rectangle (ou un cube), un repère est formé par un sommet et les trois arêtes partant de ce sommet.
• Tout point M peut alors être repéré par un triplet (xM ; yM ; zM).
• Le triplet donne successivement l’abscisse, l’ordonnée et la cote (altitude).

📖 5. Coordonnées dans un pavé

🔑 Notions clés & Définitions

• Triplet de coordonnées : Le repérage d’un point dans un pavé s’écrit sous la forme (xM ; yM ; zM).
• Cote : La cote (ou altitude) zM est le troisième nombre du triplet, associé à la direction des cotes.
• Unité des axes dans le pavé : Dans le repère choisi sur les arêtes, les unités des axes correspondent aux longueurs des arêtes de référence donnant les coordonnées des sommets.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple, le repère est (A ; B ; D ; E) et A a pour coordonnées (0 ; 0 ; 0).
• Dans ce repère, B donne l’unité de l’axe des abscisses et a pour coordonnées (1 ; 0 ; 0).
• Dans ce repère, D donne l’unité de l’axe des ordonnées et a pour coordonnées (0 ; 1 ; 0).
• Dans ce repère, E donne l’unité de l’axe des cotes et a pour coordonnées (0 ; 0 ; 1).

📖 6. Milieux d’arêtes et points repères

🔑 Notions clés & Définitions

• Milieu d’un segment : Le milieu d’un segment est le point situé au centre du segment, à égale distance des deux extrémités.
• Point repère : Un point repère est un point placé ou dont les coordonnées servent à lire ou construire d’autres positions dans le repère.
• Repère et coordonnées imposées : On peut placer un point en donnant directement ses coordonnées, comme dans l’exemple avec K.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple du cube, I est le milieu de [EF] et J est le milieu de [EH].
• Dans l’exemple, on demande de placer K(0,5 ; 0 ; 0).

📖 7. Exercices de lecture des coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Quadrillage : Le quadrillage est l’aide visuelle qui permet de lire précisément les coordonnées d’un point dans le repère.
• Lecture sur quadrillage : La lecture sur quadrillage consiste à utiliser les lignes du quadrillage pour trouver (x ; y ; z) ou (x ; y) selon l’espace étudié.
• Exercices de repérage : Les exercices de repérage entraînent à lire les coordonnées de plusieurs points à partir d’un dessin.

📝 Points essentiels

• Dans le pavé, on lit les coordonnées des points en utilisant le quadrillage.
• L’exercice demande de lire les coordonnées des points A, B, C et D dans le repère donné.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’abscisse et l’ordonnée quand on lit un couple (xM ; yM) sur les axes correspondants.
2. Oublier que l’origine O est le point de rencontre des deux axes (OI) et (OJ) dans le repère du plan.
3. Prendre l’unité d’un axe au mauvais endroit quand l’unité est donnée par OI = 1 pour les abscisses et OJ = 1 pour les ordonnées.
4. Confondre le repère spatial (sommet + trois arêtes) avec le triplet de coordonnées (x ; y ; z) à donner à un point.
5. Lire des coordonnées en utilisant le quadrillage sans vérifier si on doit lire dans le plan (2 nombres) ou dans l’espace (3 nombres).
6. Confondre la demande de placement et la demande de lecture : lire une coordonnée n’est pas placer un point.
7. Croire que “même abscisse” signifie “même ordonnée” alors que cela impose seulement la même valeur x ou la même valeur y.

✅ Checklist Examen

1. Définir ce qu’est un repère du plan (O ; I ; J) et préciser le rôle de O, I et J.
2. Relier l’axe (OI) à l’abscisse et à l’unité OI = 1.
3. Relier l’axe (OJ) à l’ordonnée et à l’unité OJ = 1.
4. Donner le couple de coordonnées d’un point M du plan sous la forme (xM ; yM).
5. Lire les coordonnées d’au moins des points du type O, I, J, A, B, C, D à partir d’un repère dessiné.
6. Placer correctement des points donnés par des coordonnées, par exemple E(−4 ; 2), F(2 ; 0) et G(−1 ; −5).
7. Placer H en respectant : même abscisse que F et même ordonnée que B.
8. Placer K en respectant : même abscisse que I et même ordonnée que J.
9. Définir un repère de l’espace dans un parallélépipède rectangle (sommet et trois arêtes partant du sommet).
10. Donner le triplet de coordonnées d’un point M dans l’espace sous la forme (xM ; yM ; zM) avec abscisse, ordonnée, cote.
11. Dans l’exemple (A ; B ; D ; E), retrouver les coordonnées de A, B, D et E.
12. Savoir ce que signifie “milieu de [EF]” et “milieu de [EH]” et identifier les points demandés.
13. Placer un point quand ses coordonnées sont données, par exemple K(0,5 ; 0 ; 0).
14. Lire des coordonnées sur quadrillage pour un pavé et répondre à la question d’un exercice (A, B, C, D).