Hoja de repaso: Introduction aux circuits électriques et oscillateurs

📋 Plan du Cours

1. Condensateur et capacité
2. Charge et décharge RC
3. Associations de condensateurs
4. Bobine et auto-induction
5. Réponse du circuit RL
6. Associations d'inductances
7. Circuit RLC et régimes
8. Analogies électromécaniques

📖 1. Condensateur et capacité

🔑 Notions clés & Définitions

• Condensateur : Dispositif à deux conducteurs séparés par un isolant (diélectrique) qui se charge sous une tension et stocke une charge électrique.
• Diélectrique : Matériau isolant placé entre les armatures du condensateur (air, verre, plastique, etc.) qui conditionne la capacité via sa permittivité.
• Capacité : Grandeur $C$ qui relie la charge $q$ stockée à la tension $U$ selon $q=CU$.
• Condensateur plan : Condensateur formé de deux plaques métalliques planes de surface $S$ séparées par une distance $e$ avec un diélectrique entre elles.

📝 Points essentiels

• Pour tout condensateur soumis à une tension $U$, la charge stockée vérifie la relation $q=CU$.
• Pour un condensateur plan, la capacité vaut $C=\dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_r S}{e}$, avec $\varepsilon_0$ la permittivité du vide et $\varepsilon_r$ celle du diélectrique.
• Le courant dans le condensateur vérifie $i=\dfrac{dq}{dt}$ et, comme $q=Cu$, on a aussi $i=C\dfrac{du}{dt}$.
• L’énergie emmagasinée par le condensateur s’écrit $E_C=\dfrac{1}{2}Cu^2=\dfrac{q^2}{2C}$.

💡 Astuce mémo

Capacité = “charge par volt” : $C=\dfrac{q}{U}$.

📖 2. Charge et décharge RC

🔑 Notions clés & Définitions

• Charge RC : Évolution temporelle d’un condensateur alimenté par une source de tension constante à travers une résistance, caractérisée par une constante de temps $\tau=RC$.
• Décharge RC : Évolution temporelle d’un condensateur initialement chargé soumis à une résistance seule, avec une décroissance exponentielle de la tension $u_C$.
• **Constante de temps $\tau=RC** : Grandeur$\tau$ qui fixe l’ordre de grandeur de la durée d’évolution du régime transitoire dans un circuit RC.

📝 Points essentiels

• Si on applique un échelon $e(t)=E$ à $t>0$, alors $u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ avec $\tau=RC$.
• Pour la même situation, la tension sur la résistance vaut $u_R(t)=E-u_C(t)=E e^{-t/\tau}$.
• À la décharge (condensateur initial chargé), on a $u_C(t)=u_C(0^+) e^{-t/\tau}$ et $u_R(t)=-u_C(t)$.
• La continuité impose que la charge $q(t)$ est continue à $t=0$, tandis que l’intensité $i$ peut présenter un saut (de $0$ à $E/R$ pour une charge par échelon).

💡 Astuce mémo

RC : $u_C$ monte/descend en exponentielle avec $\tau=RC$.

📖 3. Associations de condensateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Association en série : Montage où les condensateurs sont traversés par le même courant et la tension totale est la somme des tensions.
• Association en parallèle : Montage où les condensateurs ont la même tension aux bornes et les charges se somment pour donner la charge équivalente.
• Condensateurs équivalents : Capacité $C_{eq}$ qui permet de remplacer l’association par un seul condensateur produisant les mêmes relations de tension et de charge.

📝 Points essentiels

• En série, la capacité équivalente vérifie $\dfrac{1}{C_{eq}}=\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}$ et on a $u=u_1+u_2$.
• En série, la charge est la même sur chaque condensateur : $q=q_1=q_2$ et la tension se répartit via $u_i=q/C_i$.
• En parallèle, la capacité équivalente vérifie $C_{eq}=C_1+C_2$ et la tension est identique : $u=u_1=u_2$.
• En parallèle, les courants se somment : $i=i_1+i_2$ et la relation $i=C_{eq}\,\dfrac{du}{dt}$ reste vraie avec $C_{eq}=C_1+C_2$.

💡 Astuce mémo

Série : $1/C$ s’additionne ; parallèle : $C$ s’additionne.

📖 4. Bobine et auto-induction

🔑 Notions clés & Définitions

• Bobine : Élément électrique formé d’un enroulement, capable de créer un champ magnétique proportionnel au courant qui la traverse.
• Auto-induction : Phénomène selon lequel une variation du courant dans une bobine induit une fém aux bornes de la bobine.
• Constante $L$ (inductance) : Paramètre de la bobine qui relie la fém d’auto-induction à la dérivée temporelle du courant.
• Loi de Lenz : Principe selon lequel la fém induite s’oppose à la modification du courant.

📝 Points essentiels

• Une bobine parcourue par un courant $i$ produit un champ magnétique proportionnel à $i$, et si $i$ varie il apparaît une fém d’auto-induction.
• En convention récepteur et bobine idéale (sans résistance), la fém s’écrit $e=L\dfrac{di}{dt}$.
• L’inductance impose que l’intensité du courant dans une bobine soit nécessairement continue au cours du temps.
• L’énergie emmagasinée par la bobine idéale vaut $E_L=\dfrac{1}{2}Li^2$.

💡 Astuce mémo

Bobine : $i$ ne “sautera” pas ; $e$ réagit à $di/dt$ : $e=L\,di/dt$.

📖 5. Réponse du circuit RL

🔑 Notions clés & Définitions

• Circuit RL : Circuit constitué d’une résistance $R$ en série avec une inductance $L$, étudié en régime transitoire suite à une excitation.
• Constante de temps $\tau= L/R : Grandeur qui fixe l’ordre de grandeur de l’établissement du régime permanent dans un circuit RL.
• Réponse à un échelon de tension : Évolution des grandeurs du circuit quand la source passe brutalement à une valeur constante $E$.

📝 Points essentiels

• Pour une excitation échelon $e(t)=E$ à $t>0$ (bobine idéale), la réponse donne $i(t)=\dfrac{E}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ avec $\tau=L/R$.
• Dans ce cas, $u_R(t)=Ri(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ et la tension $u_L(t)=E-u_R(t)=Ee^{-t/\tau}$.
• Si $i(t)$ est nul avant $t=0$, alors $u_L(t)$ vaut $E e^{-t/\tau}$ et décroît exponentiellement vers $0$.
• À $t=0$, l’intensité est continue tandis que $u_L$ est discontinue : elle passe de $0$ à $E$ quand on charge un circuit RL par échelon.

💡 Astuce mémo

RL : $u_L$ s’exponentie vers $0$ tandis que $i$ s’exponentie vers $E/R$ avec $\tau=L/R$.

📖 6. Associations d'inductances

🔑 Notions clés & Définitions

• Association d'inductances en série : Montage où les tensions d’inductances s’additionnent et l’équivalent se décrit par une inductance $L_{eq}$.
• Association d'inductances en parallèle : Montage où le même courant traverse les branches et l’équivalent dépend de la somme des inverses comme pour des résistances.
• Inductance équivalente $L_{eq}$ : Valeur qui remplace l’association de bobines par une seule inductance donnant les mêmes relations de tension et courant.

📝 Points essentiels

• En série, on obtient $L_{eq}=L_1+L_2$ et la tension totale vérifie $u_L=u_{L1}+u_{L2}$.
• En série, la même intensité circule : $i=i_1=i_2$ et la tension de chaque bobine suit $u_{Li}=L_i\,di/dt$.
• En parallèle, on obtient $\dfrac{1}{L_{eq}}=\dfrac{1}{L_1}+\dfrac{1}{L_2}$ et on a $i=i_1+i_2$.
• En parallèle, la tension aux bornes de chaque bobine est la même : $u_{L}=u_{L1}=u_{L2}$.

💡 Astuce mémo

Série : $L$ s’additionne ; parallèle : $1/L$ s’additionne.

📖 7. Circuit RLC et régimes

🔑 Notions clés & Définitions

• Circuit RLC : Circuit comprenant une résistance $R$, une inductance $L$ et un condensateur $C$ soumis à une excitation $e(t)$.
• Équation différentielle du RLC : Relation entre la dérivée temporelle de $u_C$ et les grandeurs $R$, $L$, $C$, obtenue à partir des tensions $u_R$, $u_L$, $u_C$.
• Constante réduite $\sigma$ : Paramètre sans dimension qui classe le régime transitoire du RLC à partir de $R$, $L$ et $C$.
• Régimes pseudo-périodique, apériodique, critique : Trois types de comportements possibles du RLC selon le signe du discriminant lié à $\sigma$.

📝 Points essentiels

• L’équation différentielle obtenue s’écrit sous la forme $u_C''+\dfrac{1}{LC}u_C+\dfrac{1}{RC}u_C'=\dfrac{1}{LC}e(t)$ (avec dérivées en temps), d’après la mise en forme du cours.
• Avec la mise en forme du cours, on a aussi une caractéristique du type $r^2+2\sigma\omega_0 r+\omega_0^2=0$ avec $\omega_0=\sqrt{1/(LC)}$ (dans la relation donnée).
• La classification annoncée est : si $\sigma<1$ alors régime pseudo-périodique, si $\sigma>1$ alors régime apériodique, et si $\sigma=1$ alors régime apériodique critique.
• Pour un échelon de tension, la forme de $u_C(t)$ dépend de $\sigma$ : amortie oscillante pour $\sigma<1$, décroissance sans oscillation pour $\sigma\ge 1$, et à long terme le régime permanent impose $u_C\to E$.

💡 Astuce mémo

RLC : $\sigma<1$ oscille (amorti) ; $\sigma\ge 1$ amortit sans oscillations (au cas critique : racine unique).

📖 8. Analogies électromécaniques

🔑 Notions clés & Définitions

• Oscillateur mécanique masse-ressort : Système mécanique où la position et la vitesse vérifient une dynamique analogue à celle d’un oscillateur électrique amorti.
• Oscillateur électrique RLC : Système électrique dont $q$ ou $u_C$ obéit à une équation différentielle de type oscillateur, avec amortissement.
• Analogies entre variables : Correspondances présentées entre grandeurs mécaniques ($x,v$) et électriques ($q,i,u$) pour lire le comportement des régimes.

📝 Points essentiels

• Les relations mécaniques et électriques sont mises en parallèle via des équations d’oscillateurs : $x$ et $v=\dot x$ côté mécanique, $q$ et $i=\dot q$ côté électrique.
• Les énergies analogues sont données : $E_P=\dfrac{1}{2}kx^2$ (mécanique) et $E_L=\dfrac{1}{2}Li^2$ ou l’énergie du condensateur dans l’oscillateur électrique.
• Le paramètre d’amortissement est relié à une expression de $\sigma$ : côté cours, $\sigma$ s’écrit en fonction de $R$, $L$ et $\omega_0$ pour classer les régimes du RLC.
• La fréquence propre mécanique $\omega_0$ est associée à la fréquence électrique propre via le couple $L$–$C$, dans l’analogie donnée.

💡 Astuce mémo

Même équation d’oscillateur : comparer $q\leftrightarrow x$ et $i\leftrightarrow \dot x$.

📊 Tableaux de synthèse

Constantes de temps RC et RL

Circuit	Constante de temps	Tendance	Limite régime permanent
RC	$\tau=RC$	$u_C$ exponentielle	$u_C\to E$
RL	$\tau=L/R$	$i$ et $u_R$ exponentiels	$i\to E/R$ et $u_L\to 0$

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la relation fondamentale $q=CU$ avec l’énergie : $E_C=\dfrac{1}{2}Cu^2$ et non une expression linéaire en $U$.
2. Croire que le courant dans un condensateur est continu : la charge est continue, mais le courant peut sauter lors d’un échelon.
3. Inverser les discontinuités à $t=0$ : dans RL, c’est $i$ qui est continu et $u_L$ qui peut être discontinu.
4. Mélanger les constantes de temps : pour RC c’est $RC$, alors que pour RL c’est $L/R$.
5. Trier les régimes du RLC avec $\sigma$ de façon erronée : $\sigma<1$ correspond au pseudo-périodique, pas à un apériodique.
6. Oublier les formules d’équivalence : en série pour C c’est $1/C$ qui s’additionne, et en parallèle pour C c’est $C$ qui s’additionne.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir un condensateur, identifier le rôle du diélectrique, et donner la relation $q=CU$.
2. Savoir établir $C=\varepsilon_0\varepsilon_r S/e$ pour un condensateur plan.
3. Pouvoir relier $i$ à $q$ et à $u$ : $i=\dfrac{dq}{dt}$ et i=C\dfrac{du}{dt.
4. Connaître $E_C=\dfrac{1}{2}Cu^2$ et $E_C=\dfrac{q^2}{2C}$.
5. Pour une charge par échelon : écrire $u_C(t)=E(1-e^{-t/RC})$ et $u_R(t)=Ee^{-t/RC}$.
6. Pour une décharge RC : écrire une décroissance exponentielle $u_C(t)$ avec la même constante de temps $RC$ et relier $u_R$ à $u_C$ selon le cours.
7. Savoir donner $C_{eq}$ en série : $1/C_{eq}=1/C_1+1/C_2$ et en parallèle : $C_{eq}=C_1+C_2$.
8. Savoir définir la fém d’auto-induction d’une bobine idéale : $e=L\,di/dt$ et expliquer l’opposition aux variations du courant.
9. Pour RL excité par échelon : écrire $i(t)=\dfrac{E}{R}(1-e^{-tR/L})$ et $u_L(t)=Ee^{-tR/L}$.
10. Donner $L_{eq}$ en série : $L_{eq}=L_1+L_2$ et en parallèle : $1/L_{eq}=1/L_1+1/L_2$.
11. Pour le RLC : reconnaître l’équation différentielle et classer le régime selon $\sigma$ ($\sigma<1$, $\sigma=1$, $\sigma>1$).
12. Pour un échelon de tension appliqué au RLC : savoir que le régime permanent impose $u_C\to E$ et que la forme transitoire dépend de $\sigma$.
13. Utiliser les analogies électromécaniques pour associer grandeurs électriques et mécaniques dans un oscillateur (ex. $i=\dot q$ et énergies quadratiques).