Hoja de repaso: Introduction aux concepts fondamentaux en mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Trigonométrie
2. Produit scalaire
3. Géométrie repérée
4. Configurations géométriques
5. Second degré
6. Dérivation et tangente
7. Fonction exponentielle
8. Valeur absolue et trigonométrie
9. Suites
10. Suites arithmétiques et géométriques
11. Probabilités conditionnelles et indépendance
12. Variables aléatoires

📖 1. Trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Le cercle trigonométrique est un cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct sur un repère orthonormé.
• Radian : Un radian est la mesure d’un angle au centre qui intercepte un arc de longueur 1 sur le cercle trigonométrique.
• Point-image : Le point-image d’un réel est le point du cercle trigonométrique associé à l’abscisse de ce réel sur une droite tangente orientée.
• Cosinus : Le cosinus d’un réel correspond à l’abscisse du point du cercle trigonométrique associé à cet angle.
• Sinus : Le sinus d’un réel correspond à l’ordonnée du point du cercle trigonométrique associé à cet angle.

📝 Points essentiels

• Sur le cercle trigonométrique, un tour correspond à 2π radians et donc à 360°, car l’arc de longueur 2π a pour angle 360°.
• Tout nombre réel est image d’un unique point du cercle, et inversement tout point du cercle correspond à une infinité de valeurs séparées par des multiples de 2π.
• Pour tout réel x, on a -1 ≤ cos(x) ≤ 1 et -1 ≤ sin(x) ≤ 1.
• Pour tout réel x, la relation fondamentale est cos²(x) + sin²(x) = 1.
• Pour tout réel x, cos(-x) = cos(x) et sin(-x) = -sin(x).
• Pour tout réel x et tout entier relatif k, cos(x+2kπ) = cos(x) et sin(x+2kπ) = sin(x).

💡 Astuce mémo

Identité de base : cos²(x)+sin²(x)=1 (le carré du cos et le carré du sin s’annulent pour faire 1).

📖 2. Produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est le réel défini à partir de l’angle entre les vecteurs et de leurs normes, via la projection orthogonale.
• Carré scalaire : Le carré scalaire d’un vecteur correspond au produit scalaire du vecteur par lui-même et vaut sa norme au carré.
• Orthogonalité de vecteurs : Deux vecteurs sont orthogonaux quand les droites qu’ils dirigent sont perpendiculaires, ce qui se traduit par un produit scalaire nul.
• Formule trigonométrique du produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls s’exprime avec le produit de leurs normes multiplié par le cosinus de l’angle entre eux.
• Produit scalaire en repère orthonormé : Dans une base orthonormée, le produit scalaire se calcule par somme des produits des coordonnées correspondantes.

📝 Points essentiels

• Si l’angle entre {u} et {v} est aigu, alors $\u001d{u}\u001d{\u001d{.}}\u001d{v}=\|u\|\,\|v\|\cos(\theta)$ est positif ; s’il est droit, il vaut $0$ ; s’il est obtus, il est négatif.
• Si {u} et {v} sont colinéaires de même sens, alors $\u001d{u}\u001d{.}\u001d{v}=\|u\|\,\|v\|$ et en particulier $\|u\|^2=\u001d{u}\u001d{.}\u001d{u}$.
• Les vecteurs {u} et {v} sont orthogonaux si et seulement si $\u001d{u}\u001d{.}\u001d{v}=0$.
• Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire : $\u001d{u}\u001d{.}\u001d{v}=\u001d{v}\u001d{.}\u001d{u}$ et $\u001d{u}\u001d{.}(\alpha\u001d{v}+\u001d{w})=\alpha(\u001d{u}\u001d{.}\u001d{v})+\u001d{u}\u001d{.}\u001d{w}$.
• On a $\|\u001d{u}+\u001d{v}\|^2=\|\u001d{u}\|^2+2\u001d{u}\u001d{.}\u001d{v}+\|\u001d{v}\|^2$ et $\|\u001d{u}-\u001d{v}\|^2=\|\u001d{u}\|^2-2\u001d{u}\u001d{.}\u001d{v}+\|\u001d{v}\|^2$.
• Dans une base orthonormée, si $\u001d{u}(x,y)$ et $\u001d{v}(x',y')$, alors $\u001d{u}\u001d{.}\u001d{v}=xx'+yy'$ et $\|\u001d{u}\|^2=x^2+y^2$.

💡 Astuce mémo

Orthogonalité = produit scalaire nul : $\u001d{u}\u001d{.}\u001d{v}=0$.

📖 3. Géométrie repérée

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : Le vecteur directeur d’une droite est un vecteur de même direction que cette droite.
• Vecteur normal : Le vecteur normal à une droite est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de cette droite.
• Équation cartésienne d’une droite : L’équation cartésienne d’une droite est une relation du type $ax+by+c=0$ décrivant ses points.
• Cercle (centre et rayon) : Un cercle est l’ensemble des points dont la distance au centre vaut une constante positive, appelée rayon.

📝 Points essentiels

• Un vecteur normal $\overrightarrow{n}$ à une droite (d) vérifie $\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{v}=0$ pour tout vecteur directeur $\overrightarrow{v}$ de (d).
• Si (d) passe par A et a pour vecteur normal $\overrightarrow{n}$, alors M appartient à (d) équivaut à $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}=0$.
• Une droite d’équation cartésienne $ax+by+c=0$, avec $(a;b)\ne(0;0)$, admet comme vecteur normal $(a;b)$ et réciproquement.
• Un cercle de centre A($a;b$) et de rayon r avec $r>0$ est l’ensemble des points M($x;y$) tels que $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.

💡 Astuce mémo

Normal ⟂ directeur : produit scalaire nul, donc sur la droite $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}=0$ (même idée que “zéro projection”).

📖 4. Configurations géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème d'Al Kashi : Le théorème d'Al Kashi relie les longueurs des côtés d’un triangle à une mesure d’angle par une relation quadratique.
• Cercle de diamètre [AB] : Le cercle de diamètre [AB] est l’ensemble des points du plan qui vérifient une propriété d’angle droit liée au segment AB.
• Triangle rectangle en M : Un triangle ABM est rectangle en M lorsque l’angle en M vaut 90° et que les deux côtés adjacents sont orthogonaux.
• Produit scalaire de vecteurs : Le produit scalaire de deux vecteurs mesure une compatibilité angulaire : il vaut le produit des normes multiplié par le cosinus de l’angle.

📝 Points essentiels

• Dans un triangle ABC, avec les notations de la figure, on a $BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\,AC\,\cos\widehat{BAC}$ pour relier les longueurs et l’angle du triangle.
• Le triangle $ABM$ est rectangle en $M$ si et seulement si $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$.
• Si $I$ est le milieu de $[AB]$, alors l’appartenance à ce cercle s’obtient via une condition de produit scalaire : le cercle de diamètre $[AB]$ est l’ensemble des points $M$ vérifiant $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
• Le fait que \overrightarrow{MA}0\overrightarrow{MB}=0 correspond à l’orthogonalité des deux vecteurs, donc à l’angle droit au point $M$ dans le triangle $ABM$.

💡 Astuce mémo

Angle droit ⇔ $M$ sur le cercle de diamètre [AB] (et donc $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$).

📖 5. Second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Racines d’un polynôme : Les racines d’un polynôme sont les réels qui rendent le polynôme nul, donc les solutions de $f(x)=0$.
• Discriminant $\Delta$ : Le discriminant $\Delta$ est le nombre $\Delta=b^2-4ac$ associé à l’équation $ax^2+bx+c=0$.
• Forme factorisée : Une forme factorisée d’un polynôme du second degré exprime $f(x)$ comme un produit $(x-x_1)(x-x_2)$ à partir de ses racines.

📝 Points essentiels

• Si $x_1$ et $x_2$ sont deux racines distinctes de $f(x)=ax^2+bx+c$, alors $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Pour $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$, le nombre de solutions dépend du signe de $\Delta=b^2-4ac$.
• Si $\Delta<0$, l’équation du second degré n’admet aucune solution réelle.
• Si $\Delta=0$, l’équation admet une unique solution réelle double $x=-\frac{b}{2a}$.
• Si $\Delta>0$, l’équation admet deux solutions réelles $x=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Selon le signe de $\Delta$, la factorisation est impossible pour $\Delta<0$, devient $f(x)=a(x-x_0)^2$ pour $\Delta=0$ et $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ pour $\Delta>0$.

💡 Astuce mémo

Δ=b²−4ac : Δ<0 aucune racine, Δ=0 racine double, Δ>0 deux racines.

📖 6. Dérivation et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation mesure la variation moyenne de f entre a et a+h et correspond à la pente de la sécante entre les points d’abscisses a et a+h.
• Nombre dérivé : Le nombre dérivé de f en a est la limite du taux d’accroissement quand h tend vers 0, notée f′(a) si elle existe et est finie.
• Tangente : La tangente en a à la courbe de f a pour coefficient directeur f′(a) quand f est dérivable en a.
• Fonction dérivée : La fonction dérivée associe à tout x de l’intervalle le nombre dérivé f′(x) lorsque celui-ci existe.

📝 Points essentiels

• Si f est dérivable en a, alors f′(a) est le coefficient directeur de la tangente T au point d’abscisse a.
• L’équation de la tangente en a est y=f′(a)(x−a)+f(a).
• f n’est pas dérivable en a si la limite du taux d’accroissement en h→0 n’existe pas ou est infinie.
• Pour une fonction polynôme du second degré, les racines vérifient P(x)=0 et coupent l’axe des abscisses deux fois si Δ>0, une fois si Δ=0, et jamais si Δ<0.
• Si f est dérivable sur I et admet un extremum local en a (interne à I), alors f′(a)=0.
• Si f′ s’annule en a en changeant de signe de part et d’autre, alors f admet un extremum local en a.

💡 Astuce mémo

Dérivée = pente : f′(a) donne directement la pente de la tangente en x=a.

📖 7. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle est la fonction définie sur ℝ, dérivable, telle que sa dérivée soit égale à la fonction elle-même et qu’elle vaille 1 en 0.
• Nombre e : Le nombre e est l’image de 1 par la fonction exponentielle, notée exp(1), et vérifiant exp(1)=e≈2,718281828.
• Relation fonctionnelle : La relation fonctionnelle de l’exponentielle relie exp(a+b) à exp(a) et exp(b) via un produit.
• Suite géométrique : Une suite de la forme (exp( n ))^? dans le cours est interprétée comme une suite géométrique de raison exp( a ) et de premier terme 1.

📝 Points essentiels

• La fonction exp est l’unique fonction dérivable sur ℝ telle que exp'(x)=exp(x) et exp(0)=1.
• Pour tout x réel, exp(x)>0 et exp est strictement croissante sur ℝ.
• Pour tous réels a et b, exp(a)=exp(b) équivaut à a=b et exp(a)<exp(b) équivaut à a<b.
• Pour tous réels a et b, exp(a+b)=exp(a)×exp(b) et exp(-a)=1/exp(a).
• Pour tous réels a et b, exp(a-b)=exp(a)/exp(b) et pour tout entier n, exp(n·a)=(exp(a))^n.
• La dérivée de la fonction x↦exp(ax+b) vaut a·exp(ax+b).

💡 Astuce mémo

Somme en argument → produit : exp(a+b)=exp(a)×exp(b).

📖 8. Valeur absolue et trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue d’un nombre est sa distance à 0, égale au nombre lui-même s’il est positif et à son opposé s’il est négatif.
• Fonction valeur absolue : La fonction valeur absolue est la fonction qui associe à tout réel sa valeur absolue, notée |x|.

📝 Points essentiels

• Pour tout réel x, |x|=x si x≥0 et |x|=−x si x<0, donc la fonction vaut −x sur ]−∞;0] et x sur [0;+∞[.
• La fonction valeur absolue est paire, car sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• Pour tout réel x, cos(−x)=cos(x) et sin(−x)=−sin(x), donc le cosinus est pair et le sinus est impair.
• Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π, car cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x).
• Pour tracer les courbes de cos(x) ou sin(x), on suffit de les dessiner sur un intervalle de longueur 2π puis de compléter par translation.
• Les courbes représentatives de cos(x) et de sin(x) sont des sinusoïdes.

💡 Astuce mémo

Pair/impair : cos conserve le signe avec −x, sin change le signe avec −x.

📖 9. Suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une fonction u qui associe à chaque entier naturel n un réel u(n), avec u défini sur ℕ (ou sur {n≥p} avec p∈ℕ).
• Terme d’indice n : Le réel u(n), noté u_n, est appelé terme d’indice n, ou terme général, de la suite.
• Définition explicite : Une suite est définie de manière explicite quand u_n s’exprime directement en fonction de n, ce qui permet de calculer chaque terme sans passer par le précédent.
• Définition par récurrence : Une suite est définie par récurrence quand on donne un premier terme puis une règle reliant chaque terme au terme précédent.
• Représentation graphique : La représentation graphique d’une suite se fait par un nuage de points de coordonnées (n,u_n), sans relier les points.

📝 Points essentiels

• Une suite est croissante à partir de l’indice p si et seulement si, pour tout n≥p, on a u_{n+1} ≥ u_n.
• Une suite est décroissante à partir de l’indice p si et seulement si, pour tout n≥p, on a u_{n+1} ≤ u_n.
• Pour étudier le sens de variation, on compare u_{n+1}-u_n à 0, et si u_n=u(n) on peut aussi utiliser la croissance ou la décroissance de f sur [p,+∞[.
• La convergence vers une limite finie L s’écrit lim_{n→+∞}u_n=L quand les valeurs de u_n se rapprochent de L.
• Une divergence vers +∞ s’écrit lim_{n→+∞}u_n=+∞ quand les termes deviennent arbitrairement grands sans se rapprocher d’une valeur finie.

💡 Astuce mémo

Monotone = on compare u_{n+1} à u_n : si u_{n+1}−u_n≥0 alors ça monte, si ≤0 alors ça descend.

📖 10. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique est une suite dont les termes successifs diffèrent toujours de la même quantité, appelée raison.
• Raison r : La raison r est la différence constante entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique.
• Raison q : La raison q est le coefficient multiplicateur constant entre deux termes consécutifs d’une suite géométrique.
• Terme u0 : Le terme u0 est le premier terme (première valeur) de la suite utilisé pour définir la suite, notamment dans les formules explicites.

📝 Points essentiels

• Une suite (u_n) est arithmétique si u_{n+1}-u_n ne dépend pas de n, et ce résultat est la raison r.
• Une suite (u_n) est géométrique si u_{n+1}/u_n ne dépend pas de n, et ce résultat est la raison q.
• Dans une suite arithmétique, on a la forme explicite u_n = u_0 + n·r.
• Dans une suite géométrique, on a la forme explicite u_n = u_0·q^n.
• Si q>1 et u0>0 alors (u_n) est croissante, si 0<q<1 et u0>0 alors (u_n) est décroissante, et si q<0 alors la suite n’est ni croissante ni décroissante.

📖 11. Probabilités conditionnelles et indépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle mesure la chance que B se réalise quand on sait que A est déjà réalisé, avec A de probabilité non nulle.
• Partition d’un univers : Une partition de l’univers est une famille d’événements deux à deux incompatibles, de probabilités non nulles, dont la réunion vaut l’univers.
• Formule des probabilités totales : La formule des probabilités totales décompose la probabilité d’un événement B en la somme des probabilités de B sur chaque partie d’une partition.
• Indépendance de deux événements : Deux événements A et B sont indépendants quand la probabilité de leur intersection vaut le produit de leurs probabilités.
• Succession de deux épreuves indépendantes : Deux épreuves sont indépendantes et identiques quand elles ont les mêmes issues et que chaque issue conserve la même probabilité à chaque répétition.

📝 Points essentiels

• Si P(A)≠0 alors la probabilité conditionnelle de B sachant A vaut $P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$.
• On a $P(B|\overline{A})+P(B|A)=1$ et aussi $P(A\cap B)=P(A)\times P(B|A)$.
• Si $\{A_1,A_2,\dots,A_n\}$ est une partition de l’univers et si chaque $P(A_i)\neq 0$ alors $P(B)=P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)+\cdots+P(A_n\cap B)$.
• A et B sont indépendants si et seulement si $P(B|A)=P(B)$ et alors $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.
• Sur un arbre, si au premier niveau il n’y a que deux épreuves et que les probabilités au second niveau (après chaque branche) sont identiques, alors les événements sont indépendants.
• Pour deux épreuves indépendantes, la probabilité d’obtenir $A$ puis $B$ vaut $P(A_1\cap B_2)=P(A)\times P(B)$ et celle d’obtenir deux fois $A$ vaut $P(A)^2$.

📖 12. Variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire réelle : Une variable aléatoire réelle est une fonction définie sur l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire et qui prend des valeurs dans ℝ.
• Événement {X = x} : L’événement {X = x} regroupe toutes les issues de l’expérience auxquelles on associe la valeur réelle x.
• Loi de probabilité : La loi de probabilité d’une variable aléatoire associe à chaque valeur possible xi la probabilité P(X = xi) notée P(X = xi).
• Espérance mathématique E(X) : L’espérance mathématique est la somme des valeurs prises par X pondérées par leurs probabilités, notée E(X).
• Variance V(X) : La variance mesure la dispersion de X autour de son espérance et se calcule à partir des écarts au carré pondérés par les probabilités.

📝 Points essentiels

• Si X prend les valeurs x1,…,xn avec les probabilités p1,…,pn, alors la loi vérifie p1+…+pn=1.
• Pour une variable X, les ensembles {X>a} et {X≤a} correspondent aux issues associées à des valeurs strictement supérieures à a ou inférieures ou égales à a.
• Si X prend x1,…,xn, alors E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn.
• La variance vérifie V(X)=[(x1−E(X))^2]p1+[(x2−E(X))^2]p2+…+[(xn−E(X))^2]pn.
• L’écart type vaut σ(X)=√(V(X)).
• Si E(X)>0 le jeu est favorable au joueur, si E(X)<0 il est défavorable au joueur, et si E(X)=0 il est équitable.

💡 Astuce mémo

Signe de E(X) : + favorable, − défavorable, 0 équitable.

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques vs géométriques

Type	Raison	Terme général
Arithmétique	u_{n+1}-u_n = r	u_n = u_0 + n·r
Géométrique	u_{n+1}/u_n = q	u_n = u_0·q^n

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le cosinus et le sinus : cos(x) est l’abscisse et sin(x) l’ordonnée sur le cercle trigonométrique.
2. Oublier que sin(-x) = -sin(x) alors que cos(-x)=cos(x) (pair/impair inversés).
3. Croire que la condition d’angle droit s’obtient avec n’importe quelle égalité de longueurs : c’est bien (MA·MB)=0 pour le cercle de diamètre [AB].
4. Se tromper dans le produit scalaire : quand les vecteurs sont orthogonaux, le produit scalaire vaut 0 (pas la norme).
5. Prendre Δ comme b^2+4ac au lieu de Δ=b^2-4ac pour décider du nombre de solutions.
6. Écrire la tangente comme y=f(a) au lieu de y=f’(a)(x-a)+f(a) (confusion pente/valeur).
7. Mélanger les formules exponentielles : exp(a+b)=exp(a)exp(b) et exp(-a)=1/exp(a), pas exp(a-b)=exp(a)−exp(b).

✅ Checklist Examen

1. Trigonométrie : donner les définitions du cercle trigonométrique et du radian, puis retrouver cos(x) comme abscisse et sin(x) comme ordonnée.
2. Trigonométrie : utiliser la période 2π (cos(x+2kπ)=cos(x) et sin(x+2kπ)=sin(x)) et les identités d’encadrement et fondamentales.
3. Produit scalaire : rappeler la formule avec l’angle (u·v=||u||·||v||·cos(θ)) et le lien orthogonalité ⇔ u·v=0.
4. Produit scalaire : appliquer la bilinéarité/symétrie et développer ||u±v||^2=||u||^2±2u·v+||v||^2.
5. Géométrie repérée : écrire une droite ax+by+c=0 avec vecteur normal (a;b), et utiliser la condition AM·n=0.
6. Géométrie repérée : écrire l’équation d’un cercle de centre A(a;b) et de rayon r : (x-a)^2+(y-b)^2=r^2.
7. Configurations géométriques : reconnaître que ABM est rectangle en M ⇔ M appartient au cercle de diamètre [AB] ⇔ MA·MB=0.
8. Second degré : calculer Δ=b^2-4ac, décider du nombre de solutions, puis donner les formes factorisées selon Δ.
9. Dérivation et tangente : définir le nombre dérivé comme limite du taux d’accroissement et écrire l’équation de la tangente y=f’(a)(x-a)+f(a).
10. Fonction exponentielle : utiliser exp’=exp et les relations exp(a+b)=exp(a)exp(b), exp(-a)=1/exp(a) et exp(n·a)=(exp(a))^n.
11. Valeur absolue/trigo : exploiter parité/impair (|x|=x si x≥0, sinon -x) et périodicité de cos et sin.
12. Suites & probabilités : déterminer le sens de variation/limite, identifier arithmétique vs géométrique, puis appliquer P(B|A)=P(A∩B)/P(A) et la formule des probabilités totales/indépendance.