Hoja de repaso: Introduction aux dérivées et variations

📋 Plan du Cours

1. Rappels sur la dérivée
2. Dérivées fonctions usuelles
3. Opérations sur fonctions dérivables
4. Tangent et coefficient directeur
5. Lien dérivée et variation
6. Dérivées composées
7. Formules dérivation rapides

📖 1. Rappels sur la dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

Nombre dérivé
AUTEUR (date) : Le nombre dérivé $f'(a)$ d'une fonction $f$ en un point $a$ est la limite du taux de variation $(f(a+h) - f(a))/h$ lorsque $h$ tend vers 0, avec $h \neq 0$.
Formellement :
$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Dérivabilité en un point
Une fonction $f$ est dérivable en $a$ si cette limite existe et est finie. La dérivée en ce point est alors $f'(a)$.

📝 Points essentiels

La dérivée $f'(a)$ est définie comme la limite du taux de variation $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ lorsque $h$ tend vers 0.
Une fonction est dite dérivable en $a$ si cette limite existe et est finie, ce qui signifie que le taux de variation instantané en ce point est bien défini.
La dérivée représente la pente instantanée de la courbe en ce point, c’est-à-dire la pente de la tangente à la courbe en $a$.

💡 À retenir

La dérivée $f'(a)$ est la limite du taux de variation lorsque $h$ tend vers 0, ce qui permet de saisir la notion de pente instantanée en un point. Une fonction est dérivable en un point si cette limite existe et est finie.

📖 2. Dérivées fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

Fonctions usuelles : Ce sont des fonctions courantes dont la dérivée est connue et souvent utilisée en calcul différentiel. Leur dérivée permet d’étudier la variation de la fonction et de déterminer ses extrema ou ses points d’inflexion.

Fonction constante : Fonction qui attribue la même valeur à tous les réels, c’est-à-dire $f(x) = k$, où $k$ est une constante. La dérivée d’une fonction constante est toujours nulle, c’est-à-dire $f'(x) = 0$.

Fonction puissance : Fonction de la forme $f(x) = x^n$, avec $n \geq 1$. Sa dérivée est donnée par la formule $f'(x) = n x^{n-1}$.

Fonction exponentielle : Fonction de la forme $f(x) = e^x$ ou plus généralement $f(x) = e^{mx + p}$. La dérivée de $e^x$ est elle-même, c’est-à-dire $f'(x) = e^x$.

Fonction trigonométrique : Fonctions sinus et cosinus, notées respectivement $sin(x)$ et $cos(x)$. Leur dérivée est bien connue : $\frac{d}{dx} sin(x) = cos(x)$ et $\frac{d}{dx} cos(x) = -sin(x)$.

📝 Points essentiels

• La dérivée de $f(x) = k$ (fonction constante) est nulle sur $\mathbb{R}$, soit $f'(x) = 0$.

• La dérivée de $f(x) = x$ est 1 sur $\mathbb{R}$, soit $f'(x) = 1$.

• La dérivée de $f(x) = x^n$ avec $n \geq 1$ est $f'(x) = n x^{n-1}$.

• La dérivée de $f(x) = e^x$ est $f'(x) = e^x$.

• La dérivée de $f(x) = e^{mx + p}$ est $f'(x) = m e^{mx + p}$.

• La dérivée de $f(x) = \cos(x)$ est $-\sin(x)$.

• La dérivée de $f(x) = \sin(x)$ est $\cos(x)$.

• La dérivée de $f(x) = 1/x$ est $-1/x^2$, valable sur \’ensemble $\mathbb{R}^* = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$.

• La dérivée de $f(x) = 1/x^n$ avec $n \geq 1$ est $-n / x^{n+1}$.

• La dérivée de $f(x) = \sqrt{x}$ est $1 / (2 \sqrt{x})$, valable sur $\mathbb{R}^+_*$.

💡 À retenir

Mémoriser les dérivées des fonctions de base, telles que constantes, puissances, exponentielles et trigonométriques, facilite grandement le calcul différentiel et l’analyse des variations des fonctions.

📖 3. Opérations sur fonctions dérivables

🔑 Notions clés & Définitions

Somme de fonctions dérivables : Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors leur somme u + v est aussi dérivable sur I. La dérivée de cette somme est la somme des dérivées :
(u + v)' = u' + v'

Produit de fonctions dérivables : Si u et v sont deux fonctions dérivables sur I, leur produit u × v est dérivable. La dérivée du produit est donnée par la règle suivante :
(uv)' = u'v + uv'

Quotient de fonctions dérivables : Si u et v sont dérivables sur I avec v(x) ≠ 0, alors leur quotient u/v est dérivable. La dérivée s'exprime ainsi :
(u/v)' = (u'v - v'u) / v²

Constante multiplicative : Si k est une constante, et u une fonction dérivable, alors la fonction k u est dérivable. La dérivée est :
(k u)' = k u'

📝 Points essentiels

• La dérivée de la somme de deux fonctions dérivables est la somme de leurs dérivées :
  (u + v)' = u' + v'

• La dérivée du produit de deux fonctions dérivables suit la règle du produit :
  (uv)' = u'v + uv'

• La dérivée du quotient de deux fonctions dérivables, avec v ≠ 0, est :
  (u/v)' = (u'v - v'u) / v²

• La dérivée d'une constante multiplicative d'une fonction est la constante fois la dérivée de cette fonction :
  (k u)' = k u'

💡 À retenir

Maîtriser ces règles permet de calculer efficacement la dérivée de fonctions complexes en combinant des opérations élémentaires. La dérivée de la somme, du produit, du quotient et d'une constante multiplicative s'obtient en utilisant des formules simples et précises.

📖 4. Tangent et coefficient directeur

🔑 Notions clés & Définitions

Tangente à une courbe : La tangente à une courbe en un point est la droite qui "touche" la courbe en ce point sans la couper localement, représentant la direction instantanée de la courbe à cet endroit.

Coefficient directeur : Le coefficient directeur d’une droite est la pente de cette droite, c’est-à-dire la variation de y par rapport à x. Pour une tangente à une courbe, il correspond à la dérivée de la fonction en ce point.

Équation de la tangente : L’équation de la tangente à la courbe en un point A(a; f(a)) est donnée par :
$y = f'(a) \times (x - a) + f(a)$

Point d'abscisse a : Le point d’abscisse a est la valeur de x pour laquelle on considère la tangente. Il correspond au point A(a; f(a)) sur la courbe.

📝 Points essentiels

• La tangente en a a pour coefficient directeur f'(a).
• L'équation de la tangente est :
  $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
• La tangente passe par le point A(a; f(a)).

💡 À retenir

La dérivée en un point donne la pente locale de la courbe en ce point, ce qui permet d’interpréter la concept de tangente comme la droite qui "touche" la courbe en ce point avec une pente égale à la dérivée.

📖 5. Lien dérivée et variation

🔑 Notions clés & Définitions

Fonction croissante :
Une fonction $f$ est dite croissante sur un intervalle $I$ si, pour tous $x, y \in I$, $x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y)$.

• AUTEUR : voir section 1

Fonction décroissante :
Une fonction $f$ est décroissante sur $I$ si, pour tous $x, y \in I$, $x \leq y \Rightarrow f(x) \geq f(y)$.
AUTEUR (date) : La décroissance est associée à la non-positivité de la dérivée.

• Fonction constante : voir section 2 Une fonction $f$ est constante sur $I$ si, pour tous $x, y \in I$, $f(x) = f(y)$.
  AUTEUR (date) : La constance correspond à une dérivée nulle partout sur $I$.

Signe de la dérivée :
Le signe de $f'$ indique la tendance de variation de $f$ :

• $f'(x) \geq 0$ $\Rightarrow$ $f$ est croissante sur l'intervalle.
• $f'(x) \leq 0$ $\Rightarrow$ $f$ est décroissante sur l'intervalle.
• $f'(x) = 0$ $\Rightarrow$ $f$ est constante sur l'intervalle.

Tableau de variations :
Il s'établit à partir du signe de $f'$. Il permet de repérer les intervalles où la fonction croît ou décroît en indiquant les extremums locaux.

📝 Points essentiels

f est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$.
f est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x) \leq 0$ pour tout $x \in I$.
f est constante sur $I$ si et seulement si $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$.
Le signe de $f'$ permet de dresser le tableau de variations de $f$, en identifiant les intervalles où la fonction augmente ou diminue.

💡 À retenir

Utiliser le signe de la dérivée permet de déterminer précisément les intervalles de croissance et décroissance d'une fonction, facilitant ainsi la compréhension de ses variations et la localisation de ses extremums.

📖 6. Dérivées composées

🔑 Notions clés & Définitions

Fonction composée
Définition : La fonction composée v o u est définie par (v o u)(x) = v(u(x)), où u est une fonction définie sur un intervalle I, et v une fonction définie sur un intervalle J contenant l’image de u(x) pour tout x de I.

• Auteur : voir section 1

Notation v o u
Définition : La notation v o u indique la composition de deux fonctions v et u, où l’on applique d’abord u, puis v.
Exemple : Si u(x) = 2x - 1 et v(x) = eˣ, alors v o u(x) = e^(2x - 1).

Dérivée d'une composée
Définition : La dérivée de la fonction composée v o u en x est donnée par (v o u)'(x) = u'(x) × v'(u(x)).
Auteur : Formule issue de la règle de dérivation pour la composition.

Règle de chaîne
Définition : La règle de chaîne permet de calculer la dérivée d’une fonction composée en multipliant la dérivée de la fonction extérieure évaluée en la fonction intérieure par la dérivée de la fonction intérieure.
Formule : (v o u)'(x) = u'(x) × v'(u(x)).

📝 Points essentiels

• La fonction composée v o u est définie par (v o u)(x) = v(u(x)).
• La dérivée de v o u est (v o u)'(x) = u'(x) × v'(u(x)).
• L’ordre dans la composition est important : on applique d’abord u, puis v.
• La règle de chaîne facilite la dérivation de fonctions complexes en décomposant leur structure en fonctions plus simples.
• La formule de dérivée montre que l’ordre de composition doit être respecté pour obtenir le résultat correct.

💡 À retenir

Pour dériver efficacement une fonction composée complexe, il faut appliquer la règle de chaîne en respectant l’ordre de composition : dériver la fonction extérieure en évaluant la dérivée en la fonction intérieure, puis multiplier par la dérivée de cette dernière.

📖 7. Formules dérivation rapides

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule dérivée de uⁿ :
  (uⁿ)' = u' × n u^{n-1}
  Cette formule permet de dériver une puissance d'une fonction u en multipliant par la dérivée de u et en réduisant l'exposant de 1.

• Formule dérivée de e^u :
  (e^u)' = u' e^u
  La dérivée de l'exponentielle d'une fonction u est le produit de la dérivée de u par e^u.

• Formule dérivée de 1/u :
  (1/u)' = -u' / u²
  La dérivée de l'inverse d'une fonction u est négative de la dérivée de u sur le carré de u.

• Formule dérivée de √u :
  (√u)' = u' / (2√u)
  La dérivée de la racine carrée d'une fonction u est la dérivée de u divisée par deux fois la racine de u.

• Formule dérivée du quotient :
  (u/v)' = (u'v - v'u) / v²
  La dérivée du quotient de deux fonctions u et v est donnée par la différence entre le produit de la dérivée de u par v et celui de v par u', le tout divisé par le carré de v.

📝 Points essentiels

• La formule (uⁿ)' = u' × n u^{n-1} permet de dériver rapidement toute puissance d'une fonction u en utilisant la dérivée de u et en appliquant la règle de puissance.
• La formule (e^u)' = u' e^u simplifie la dérivation de l'exponentielle d'une fonction, en évitant de refaire la règle de dérivation à chaque fois.
• La formule (1/u)' = -u' / u² est essentielle pour dériver des fonctions inverses ou rationnelles, permettant d'éviter de faire une dérivation longue.
• La formule (√u)' = u' / (2√u) facilite la dérivation des racines carrées, souvent rencontrées dans des expressions complexes.
• (u/v)' = (u'v - v'u) / v² : voir section 3

💡 À retenir

Utiliser ces formules dérivation rapides permet de gagner du temps et de simplifier considérablement le calcul des dérivées, en évitant de refaire systématiquement les règles de base.

📊 Tableaux de Synthèse

Thème	Notions clés	Formules / Règles	Auteur / Référence
Rappels sur la dérivée	Définition limite du taux de variation	$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$	Non spécifié
Dérivées fonctions usuelles	Constante : $f'(x)=0$	$f(x)=k$	Non spécifié
	Puissance : $f'(x)=n x^{n-1}$	$f(x)=x^n$	Non spécifié
	Exponentielle : $f'(x)=e^x$	$f(x)=e^x$	Non spécifié
	Sinus : $f'(x)=\cos(x)$	$f(x)=\sin(x)$	Non spécifié
	Cosinus : $f'(x)=-\sin(x)$	$f(x)=\cos(x)$	Non spécifié
Opérations sur fonctions dérivables	Somme : $(u+v)'=u'+v'$	-	Non spécifié
	Produit : $(uv)'=u'v+uv'$	-	Non spécifié
	Quotient : $(u/v)'=(u'v - v'u)/v^2$	-	Non spécifié
	Constante multiplicative : $(k u)'=k u'$	-	Non spécifié
Tangente et coefficient directeur	Équation tangente : $y = f'(a)(x - a)+f(a)$	-	Non spécifié
	Coefficient directeur : $f'(a)$	-	Non spécifié
Lien dérivée et variation	Fonction croissante si $f' \geq 0$	-	Non spécifié
	Fonction décroissante si $f' \leq 0$	-	Non spécifié

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la dérivée d'une fonction constante ($=0$) avec une fonction linéaire.
2. Oublier que la dérivée de $1/x$ est $-1/x^2$, pas simplement négative.
3. Confondre la dérivée de $\sin(x)$ et $\cos(x)$, notamment le signe.
4. Ne pas vérifier la continuité ou la dérivabilité pour appliquer les règles de dérivation.
5. Appliquer incorrectement la règle du produit ou du quotient sans respecter la formule.
6. Confondre la croissance d'une fonction avec la positivité de sa dérivée sans considérer le domaine.
7. Ignorer que la dérivée n'existe pas en certains points (ex: point de non-dérivabilité).

✅ Checklist Examen

• Connaître la définition du nombre dérivé et sa limite.
• Savoir que la dérivée d’une fonction constante est nulle.
• Mémoriser les dérivées des fonctions usuelles : constantes, puissance, exponentielle, sinus, cosinus, racine carrée.
• Appliquer correctement les règles de dérivation : somme, produit, quotient, constante multiplicative.
• Savoir écrire l’équation de la tangente en un point à partir de la dérivée.
• Comprendre le lien entre le signe de la dérivée et la croissance ou décroissance de la fonction.
• Savoir dresser un tableau de variations à partir du signe de la dérivée.
• Identifier les points où la fonction est croissante, décroissante ou constante.
• Maîtriser l’interprétation géométrique de la dérivée (pente, tangente).
• Connaître l’effet de la composition sur les dérivées (dérivée composée).
• Savoir utiliser les formules rapides pour différencier des fonctions composées ou produits.
• Connaître les auteurs et concepts clés : définition par limite (aucun auteur spécifique mentionné).