Cuestionario: Introduction aux lois de Bernoulli et binomiale — 12 preguntas

1. Dans une succession de deux épreuves indépendantes, quel objet mathématique décrit l’ensemble des issues possibles en combinant les résultats de chaque épreuve ?

A. Le produit cartésien des univers des épreuves

B. L’ensemble des événements compatibles

C. La somme des probabilités des branches

D. L’intersection des issues favorables

Answer: (A)

Explicación

Le produit cartésien rassemble toutes les combinaisons possibles d’issues des épreuves successives. Une branche d’arbre représente une issue, mais l’ensemble complet des issues est bien décrit par le produit cartésien.

2. Dans une succession de trois épreuves indépendantes, comment s’écrit une issue complète ?

A. Comme une seule issue globale

B. Comme un triplet ordonné d’issues

C. Comme une union de trois événements

D. Comme une probabilité conditionnelle

Answer: (B)

Explicación

Une issue d’une succession de n épreuves s’écrit sous la forme d’un n-uplet ordonné. Ici, pour trois épreuves, il s’agit donc d’un triplet.

3. Quelle caractéristique définit une épreuve de Bernoulli ?

A. Elle se répète nécessairement plusieurs fois

B. Elle dépend d’un arbre de probabilités

C. Elle possède exactement deux issues possibles

D. Elle comporte plusieurs issues équiprobables

Answer: (C)

Explicación

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues seulement, souvent appelées succès et échec. Le fait de se répéter plusieurs fois relève du schéma de Bernoulli, pas de l’épreuve seule.

4. Dans une variable de Bernoulli, quelles sont les valeurs possibles de la variable aléatoire ?

A. −1 et 1

B. 0 et p

C. 0 et 1

D. p et 1−p

Answer: (C)

Explicación

Une variable de Bernoulli prend uniquement les valeurs 0 et 1, avec 1 pour le succès et 0 pour l’échec. Les valeurs p et 1−p sont des probabilités, pas des valeurs de la variable.

5. Quelle condition est indispensable pour parler d’un schéma de Bernoulli ?

A. Les probabilités doivent changer à chaque essai

B. Les épreuves doivent avoir plus de deux issues

C. Les épreuves doivent être identiques et indépendantes

D. Les résultats doivent être ordonnés dans un tableau

Answer: (C)

Explicación

Un schéma de Bernoulli impose des répétitions identiques et indépendantes. Si la probabilité change d’un essai à l’autre, le modèle ne convient plus.

6. Pourquoi des tirages avec remise forment-ils un schéma de Bernoulli ?

A. Parce que la composition de l’urne reste la même

B. Parce que le nombre de boules diminue à chaque tirage

C. Parce que l’issue a plus de deux valeurs

D. Parce que les résultats deviennent dépendants

Answer: (A)

Explicación

Avec remise, l’urne retrouve sa composition initiale, donc les tirages restent identiques et indépendants. C’est précisément la situation requise pour un schéma de Bernoulli.

7. Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, quelle est son espérance ?

A. √(np)

B. n(1−p)

C. np

D. p(1−p)

Answer: (C)

Explicación

Pour une loi binomiale, l’espérance vaut np. La quantité p(1−p) correspond à la variance d’une variable de Bernoulli, pas à l’espérance binomiale.

8. Quelle expression donne l’écart-type d’une loi binomiale B(n,p) ?

A. np

B. √(np(1−p))

C. p(1−p)

D. np(1−p)

Answer: (B)

Explicación

L’écart-type est la racine carrée de la variance, donc pour B(n,p) on obtient √(np(1−p)). La formule np(1−p) correspond à la variance.

9. Dans un modèle binomial, que représente la variable aléatoire X ?

A. Le nombre total d’issues possibles

B. La probabilité d’un succès unique

C. Le nombre de succès observés sur n essais

D. La liste des issues de chaque essai

Answer: (C)

Explicación

Dans une loi binomiale, X compte le nombre de succès obtenus sur n épreuves. Elle ne décrit pas les issues une à une, mais le total des succès.

10. Pour X suivant une loi binomiale B(10,0,12), quelle grandeur correspond à la valeur moyenne attendue ?

A. 1,056

B. 0,88

C. 1,2

D. 10,12

Answer: (C)

Explicación

L’espérance vaut np, donc 10 × 0,12 = 1,2. La valeur 1,056 correspond à la variance, pas à la moyenne.

11. Sur une calculatrice, que faut-il saisir en premier pour calculer une probabilité binomiale ?

A. Les paramètres n et p de la loi

B. Le nombre total d’issues de l’expérience

C. La liste complète des chemins possibles

D. La moyenne et l’écart-type

Answer: (A)

Explicación

Les calculatrices demandent d’abord les paramètres de la loi binomiale, notamment n et p, avant le type de probabilité recherché. On n’a pas besoin d’entrer tous les chemins possibles.

12. Pour calculer P(X≤k) sur la calculatrice, quelle expression faut-il choisir ?

A. L’option de probabilité strictement supérieure à k

B. L’option de probabilité pour un seul succès

C. L’option de variance de la loi

D. L’option de probabilité cumulée jusqu’à k

Answer: (D)

Explicación

P(X≤k) correspond à une probabilité cumulée jusqu’à la borne k. Ce n’est pas une probabilité d’un seul point, ni une variance.