Cuestionario: Introduction aux nombres complexes — 20 preguntas

1. Dans l’écriture algébrique d’un nombre complexe, que représente le terme en $i$ dans $a+bi$ ?

A. La partie réelle

B. L’argument

C. La partie imaginaire

D. Le module

Answer: (C)

Explicación

Dans la forme $a+bi$, le coefficient de $i$ est la partie imaginaire. La partie réelle est le coefficient de $1$.

2. Quelle propriété caractérise l’unité imaginaire $i$ ?

A. Son module vaut $-1$

B. Son carré vaut $1$

C. Son inverse vaut $-1$

D. Son carré vaut $-1$

Answer: (D)

Explicación

L’unité imaginaire est définie par $i^2=-1$. C’est la base du calcul algébrique des complexes.

3. Dans une équation complexe du premier degré, quelle est la forme de l’inconnue ?

A. Elle apparaît seulement dans un argument

B. Elle apparaît seulement à la puissance 1

C. Elle apparaît seulement au carré

D. Elle apparaît seulement dans un module

Answer: (B)

Explicación

Une équation du premier degré est linéaire : l’inconnue n’y apparaît qu’à la puissance 1. Les autres propositions décrivent d’autres types de problèmes.

4. Que signifie une équation à coefficients réels ?

A. Elle admet uniquement des solutions réelles

B. Elle ne contient aucun terme constant

C. Tous ses coefficients numériques sont réels

D. Ses solutions sont toutes imaginaires

Answer: (C)

Explicación

Une équation à coefficients réels possède uniquement des coefficients numériques réels. Ses solutions peuvent néanmoins être complexes.

5. Que représente le module d’un nombre complexe dans le plan complexe ?

A. Son angle avec l’axe réel

B. La partie imaginaire de son affixe

C. La pente de sa représentation

D. Sa longueur dans le plan complexe

Answer: (D)

Explicación

Le module correspond à la longueur du vecteur associé au complexe. L’angle, lui, est donné par l’argument.

6. Qu’est-ce qu’une racine carrée complexe d’un nombre donné ?

A. Un nombre dont la partie réelle est positive

B. Un nombre dont le carré est égal au nombre donné

C. Un nombre dont le module est celui du nombre donné

D. Un nombre dont l’argument est nul

Answer: (B)

Explicación

Une racine carrée complexe est un nombre $z$ tel que $z^2$ soit égal au nombre donné. Ce n’est pas une condition sur le module seul.

7. Dans le plan complexe, qu’appelle-t-on l’affixe d’un point ?

A. L’angle formé avec l’axe des ordonnées

B. Le rayon du cercle passant par le point

C. La distance du point à l’origine uniquement

D. Le nombre complexe qui décrit sa position

Answer: (D)

Explicación

L’affixe est le nombre complexe associé à la position du point dans le plan complexe. Elle encode directement ses coordonnées.

8. Quel est le conjugué de $z=x+iy$ ?

A. $x+iy$

B. $x-iy$

C. $-x+iy$

D. $-x-iy$

Answer: (B)

Explicación

Le conjugué de $x+iy$ est $x-iy$. Il sert notamment à décrire des symétries dans le plan complexe.

9. Quelle écriture correspond à la forme trigonométrique d’un complexe non nul ?

A. $z=a+bi$

B. $z=e^r+i\theta$

C. $z=r+i\theta$

D. $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$

Answer: (D)

Explicación

La forme trigonométrique s’écrit avec le module $r$ et l’argument $\theta$ : $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$. La forme algébrique est $a+bi$.

10. Que traduit l’écriture exponentielle $z=re^{i\theta}$ ?

A. La partie imaginaire seule

B. La somme de deux complexes

C. Une factorisation polynomiale

D. Le module et l’argument du complexe

Answer: (D)

Explicación

Dans $re^{i\theta}$, $r$ est le module et $\theta$ l’argument. Cette écriture est équivalente à la forme trigonométrique.

11. Quelle propriété permet d’écrire la puissance d’un complexe sous forme trigonométrique en augmentant simplement l’argument d’un facteur entier ?

A. Le discriminant

B. La conjugaison complexe

C. La formule de De Moivre

D. La division euclidienne

Answer: (C)

Explicación

La formule de De Moivre relie les puissances d’un complexe à son module et à son argument, en multipliant l’argument par l’exposant. Les autres propositions ne donnent pas cette règle de calcul des puissances.

12. Dans un quotient de deux nombres complexes non nuls, quelle condition est nécessaire pour que l’opération soit définie ?

A. Les deux nombres doivent être réels

B. Le numérateur doit être nul

C. Les arguments doivent être égaux

D. Le dénominateur doit être non nul

Answer: (D)

Explicación

Un quotient complexe n’est défini que si le dénominateur n’est pas nul. La valeur des arguments ou le caractère réel des nombres n’est pas une condition nécessaire.

13. Que signifie le fait qu’un nombre complexe soit un zéro d’un polynôme ?

A. Le polynôme s’annule pour cette valeur

B. Le coefficient dominant est nul

C. Le degré du polynôme diminue d’une unité

D. Le polynôme devient forcément factorisé en deux termes

Answer: (A)

Explicación

Un zéro d’un polynôme est une valeur de l’inconnue qui rend le polynôme égal à zéro. Cela permet ensuite de factoriser, mais n’implique pas à lui seul une diminution du degré.

14. Si un polynôme admet une racine connue, quelle conséquence est la plus directe pour sa factorisation ?

A. Son coefficient constant doit être nul

B. Le polynôme est divisible par le facteur correspondant à cette racine

C. Toutes ses autres racines sont réelles

D. Le polynôme devient constant

Answer: (B)

Explicación

Connaître une racine permet d’introduire le facteur associé, ce qui donne une première étape de factorisation. Les autres affirmations ne découlent pas nécessairement de l’existence d’une racine.

15. Dans le plan complexe, que représente l’argument d’un nombre complexe ?

A. L’angle associé au vecteur image

B. La partie réelle du nombre

C. Le coefficient de l’unité imaginaire

D. La longueur du vecteur image

Answer: (A)

Explicación

L’argument décrit la direction du vecteur image dans le plan complexe. La longueur correspond au module, pas à l’argument.

16. Quelle relation caractérise le conjugué d’un nombre complexe de la forme x+iy ?

A. -x+iy

B. x-iy

C. y-ix

D. x+iy

Answer: (B)

Explicación

Le conjugué change seulement le signe de la partie imaginaire : x+iy devient x-iy. Il s’agit d’une symétrie par rapport à l’axe réel dans le plan complexe.

17. Quelle affirmation décrit correctement une équation du second degré sur C ?

A. L’inconnue apparaît forcément à la puissance 3

B. Elle admet toujours deux solutions réelles

C. Tous ses coefficients sont nécessairement complexes non réels

D. L’inconnue y apparaît au plus sous la forme z²

Answer: (D)

Explicación

Une équation du second degré est une équation polynomiale où l’inconnue apparaît au plus sous la forme z². Elle peut avoir des solutions complexes, et pas forcément deux solutions réelles.

18. Que peut-on dire des solutions d’une équation du second degré à coefficients réels lorsque le discriminant est négatif ?

A. L’équation n’a aucune solution

B. Elles sont égales à zéro

C. Elles sont toutes réelles et distinctes

D. Elles sont complexes conjuguées

Answer: (D)

Explicación

Quand le discriminant est négatif et que les coefficients sont réels, les solutions ne sont pas réelles mais forment une paire de conjuguées complexes. L’absence de solutions n’est donc vraie qu’en réel.

19. Quel mathématicien est cité comme ayant montré en 1572, avec la formule de Cardan, l’usage de quantités comportant i ?

A. Bombelli

B. Descartes

C. Girard

D. Jérôme Cardan

Answer: (A)

Explicación

Bombelli est présenté comme celui qui, en 1572, montre concrètement l’usage de quantités avec i dans le cadre des formules de Cardan. Girard est associé à une conjecture plus tardive sur le nombre de racines.

20. Quelle idée est associée à A. Girard en 1629 ?

A. Toute racine carrée d’un négatif est impossible

B. Le discriminant a été introduit par Bombelli

C. Une équation de degré n admet n racines réelles ou complexes

D. Les complexes sont définis par le plan d’Argand

Answer: (C)

Explicación

A. Girard est mentionné pour avoir soupçonné qu’une équation de degré n possède n racines réelles ou complexes. Les autres propositions concernent d’autres étapes historiques ou sont anachroniques.