Introduction aux propriétés des fonctions et intégrales

📋 Plan du Cours

1. Continuité uniforme et lipschitzienne des fonctions
2. Subdivision d'un intervalle et fonctions en escalier
3. Approximation uniforme des fonctions par des fonctions en escalier
4. Définition et propriétés de l'intégrale des fonctions en escalier
5. Intégrale des fonctions continues par morceaux et convergence
6. Théorème fondamental du calcul intégral et primitives
7. Symétries, périodicité et propriétés des intégrales
8. Sommes de Riemann et calcul intégral avec pas constant

📖 1. Continuité uniforme et lipschitzienne des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Definition : Une fonction est dite k-lipschitzienne si une constante k positive existe telle que, pour tous points a et y de son domaine, la valeur absolue de la différence entre f(a) et f(y) est inférieure ou égale à k fois la distance entre a et y.
• Y) Proposition : Toute fonction k-lipschitzienne est uniformément continue, mais la réciproque n'est pas toujours vraie.
• E Remarque : Il fllo-cup 41 Sallix = =4 = (0i + Exemple : con : IR-IM I calls = 1 , tan] IItan = + o ( : / Ill = + : g : Ga Iglo
• Soit J : Un intervalle fermé [a, b] sur lequel une fonction continue est uniformément continue selon le théorème de Heine.

📝 Points essentiels

• Une fonction uniformément continue n'est pas nécessairement lipschitzienne.
• La fonction f(x) = x² définie sur ℝ est un exemple de fonction continue qui n'est pas uniformément continue.

💡 À retenir