Hoja de repaso: Introduction aux suites et fonctions fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Suites arithmétiques
2. Formules de la suite arithmétique
3. Fonctions affines
4. Coefficient directeur et graphique
5. Polynôme du second degré

📖 1. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite où l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours la même quantité.
• Terme de suite : Valeur individuelle rangée dans l’ordre d’une suite, notée généralement $U_n$ ou $u_n$.
• Raison : Nombre constant ajouté entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique.

📝 Points essentiels

• Dans une suite arithmétique, on a toujours la différence constante entre deux termes consécutifs.
• Le passage U_n → U_{n+1} correspond à l’ajout de la raison r.
• La raison peut être trouvée à partir de deux termes consécutifs, par soustraction.
• L’exemple 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 donne une raison r égale à 3.

💡 Astuce mémo

Raison = “toujours la même addition” d’un terme au suivant.

📖 2. Formules de la suite arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule explicite : Expression qui donne directement U_n en fonction du premier terme U_1, du rang n et de la raison r.
• Suite indexée à partir de u0 : Cas où la suite commence à u_0, ce qui change l’écriture de la formule en fonction de n.
• Premier terme : Valeur du rang 1, notée U_1, ou du rang 0, notée u_0, utilisée pour remonter aux autres termes.
• Rang n : Numéro de la position dans la suite, choisi pour isoler n dans la formule.

📝 Points essentiels

• Si la suite commence à U_1, alors $U_n = U_1 + (n-1)r$.
• Si la suite commence à u_0, alors $u_n = u_0 + nr$.
• Pour trouver U_1 à partir de U_n : $U_1 = U_n - (n-1)r$.
• Pour trouver n : $n = \dfrac{U_n - U_1}{r} + 1$.
• Entre deux termes quelconques : si $U_p$ est connu, alors $U_n = U_p + (n-p)r$.
• Exemple de calcul : avec $u_0=5$ et $r=2$, on obtient $u_6 = 5 + 6\times 2 = 17$.

💡 Astuce mémo

U_1+(n-1)r : le “-1” sert quand on commence à 1.

📖 3. Fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Fonction de la forme $f(x)=ax+b$ où a et b sont des nombres réels.
• Coefficient directeur : Nombre a qui indique la pente de la droite représentant la fonction affine.
• Ordonnée à l’origine : Nombre b qui vaut la valeur de la fonction pour $x=0$.
• Image d’un réel : Résultat $f(x)$ obtenu quand on remplace x par une valeur donnée.

📝 Points essentiels

• Dans $f(x)=ax+b$, $b=f(0)$ et $a$ indique si la droite monte ou descend.
• Si $a>0$, la droite monte ; si $a<0$, elle descend ; si $a=0$, elle est constante.
• Pour tracer la droite, on place deux points obtenus avec $x=0$ puis un autre x (par exemple 1 ou 2).
• Exemple $f(x)=2x+3$ : $f(1)=5$ et $f(2)=7$.
• Pour repérer $a$ à partir de deux points $A(x_1,y_1)$ et $B(x_2,y_2)$ : $a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
• Pour repérer $b$ à partir d’un graphique : $b$ est la valeur au point où la droite coupe l’axe des ordonnées.

💡 Astuce mémo

Pente = $a$, coupe des ordonnées = $b$ : deux lettres, deux infos.

📖 4. Coefficient directeur et graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Pente (montée/descente) : Caractéristique du graphique qui décrit la direction de la droite quand x augmente.
• Deux points du graphique : Deux coordonnées $(x_1,y_1)$ et $(x_2,y_2)$ qui suffisent à déterminer une droite affine.
• Intersection avec l’axe des ordonnées : Point où la droite coupe l’axe vertical, correspondant à $x=0$.

📝 Points essentiels

• Le coefficient directeur $a$ s’interprète : $a>0$ droite montante, $a<0$ droite descendante, $a=0$ droite horizontale.
• Sur un graphique, l’ordonnée à l’origine b est l’altitude quand $x=0$.
• Si on connaît deux points $A(x_1;y_1)$ et $B(x_2;y_2)$, alors $a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
• Pour une droite, deux points suffisent pour la tracer, car la courbe est unique.

💡 Astuce mémo

Un graphique dit : où ça coupe (b) et comment ça penche (a).

📖 5. Polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynomiale du second degré : Fonction de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Parabole : Courbe associée à une fonction du second degré, caractérisée par son ouverture et son sommet.
• Racines d’un polynôme : Valeurs de x qui annulent la fonction, c’est-à-dire les solutions de $f(x)=0$.

📝 Points essentiels

• Une fonction du second degré s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• La parabole est ouverte vers le haut si $a>0$ et vers le bas si $a<0$.
• Pour $a>0$, la parabole a un minimum, et pour $a<0$, elle a un maximum.
• Les racines sont les solutions de $f(x)=0$ et correspondent aux abscisses des points d’intersection avec l’axe des abscisses.
• Exemple : pour $x^2- x -5 +6=0$ on factorise en $(x-2)(x-3)=0$, donc $x=2$ ou $x=3$.
• Résoudre $f(x)=g(x)$ se fait en cherchant les abscisses des intersections des deux courbes.

💡 Astuce mémo

Second degré : parabole ; racines : là où elle coupe l’axe des abscisses (où $f(x)=0$).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la raison r avec un terme de la suite : r est la quantité ajoutée à chaque étape, pas un $U_n$.
2. Se tromper sur la formule explicite si la suite commence à $U_1$ plutôt qu’à $u_0$ (le $n-1$ change tout).
3. Oublier que $b$ vaut $f(0)$ : sans $x=0$, on ne peut pas déterminer correctement l’ordonnée à l’origine.
4. Interpréter le sens de variation en confondant le signe de a : $a>0$ monte, $a<0$ descend, $a=0$ est constant.
5. Chercher les racines ailleurs que là où $f(x)=0$ : sur un graphique, ce sont les abscisses des coupes avec l’axe $x$.
6. Confondre résoudre $f(x)=g(x)$ (intersection) et résoudre $f(x)>g(x)$ (courbe au-dessus) sur le même domaine.

✅ Checklist Examen

1. Définir une suite arithmétique à l’aide de la raison r et écrire la relation $U_{n+1}=U_n+r$.
2. Calculer la raison à partir de deux termes consécutifs en soustrayant le premier du second.
3. Calculer un terme suivant à partir de $U_n$ et de r en utilisant $U_{n+1}=U_n+r$.
4. Utiliser la formule $U_n=U_1+(n-1)r$ quand la suite commence à $U_1$.
5. Utiliser la formule $u_n=u_0+nr$ quand la suite commence à $u_0$.
6. Isoler le premier terme : déterminer $U_1$ avec $U_1=U_n-(n-1)r$.
7. Isoler le rang n avec $n=\dfrac{U_n-U_1}{r}+1$.
8. Passer de $U_p$ à un autre rang : appliquer $U_n=U_p+(n-p)r$.
9. Reconnaître une fonction affine et l’écrire sous la forme $f(x)=ax+b$.
10. Déterminer le sens du graphique avec le signe de a : $a>0$, $a<0$ ou $a=0$.
11. Calculer une image $f(x)$ en remplaçant x par une valeur donnée dans $ax+b$.
12. Identifier $b$ comme valeur pour $x=0$ et utiliser $b=f(0)$.
13. Trouver a à partir de deux points $A(x_1,y_1)$ et $B(x_2,y_2)$ avec $a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
14. Tracer une droite de fonction affine en plaçant deux points (dont celui obtenu pour $x=0$).