Cuestionario: Introduction aux suites numériques — 10 preguntas

1. Quelle caractéristique décrit une suite définie par récurrence ?

A. On obtient chaque terme en multipliant le précédent par un nombre fixe

B. On donne directement le terme général en fonction de n

C. On donne un premier terme puis une règle pour calculer le terme suivant

D. On étudie seulement les termes à partir d’un rang donné

Answer: (C)

Explicación

Une suite définie par récurrence commence par un terme initial, puis une relation permet de calculer chaque terme à partir du précédent. La proposition sur le terme général décrit plutôt une suite explicite.

2. Dans la relation u_{n+1}=2u_n+1 avec u_0=2, quelle est la valeur de u_2 ?

A. 5

B. 9

C. 13

D. 11

Answer: (D)

Explicación

On calcule d’abord u_1=2×2+1=5, puis u_2=2×5+1=11. Il faut appliquer la relation successivement, et non directement à partir de u_0 pour obtenir u_2.

3. Quelle formule caractérise une suite arithmétique de raison r ?

A. u_n=u_0+q^n

B. u_{n+1}=q\,u_n

C. u_n=u_0\,q^n

D. u_{n+1}=u_n+r

Answer: (D)

Explicación

Une suite arithmétique s’obtient en ajoutant la même quantité r à chaque terme, d’où u_{n+1}=u_n+r. La multiplication par q correspond à une suite géométrique.

4. Une suite arithmétique de raison r est croissante lorsque :

A. r est strictement négatif

B. r est non nul

C. r est nul

D. r est strictement positif

Answer: (D)

Explicación

Pour une suite arithmétique, le signe de r détermine le sens de variation : elle est croissante si r>0. Si r<0, elle est décroissante, et si r=0, elle est constante.

5. Quelle relation définit une suite géométrique de raison q ?

A. u_n=u_0+r^n

B. u_{n+1}=q\,u_n

C. u_{n+1}=u_n+r

D. u_n=u_0+nr

Answer: (B)

Explicación

Dans une suite géométrique, chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par q, donc u_{n+1}=q\,u_n. La formule avec +r correspond à une suite arithmétique.

6. Si tous les termes d’une suite géométrique sont strictement positifs et que 0<q<1, comment la suite varie-t-elle ?

A. Elle est croissante

B. Elle est constante

C. On ne peut pas le savoir

D. Elle est décroissante

Answer: (D)

Explicación

Quand tous les termes sont strictement positifs, une suite géométrique est décroissante si 0<q<1. Elle est croissante seulement si q>1, et constante si q=1.

7. Que signifie qu’une suite est croissante à partir d’un rang n_0 ?

A. Pour tout n\geq n_0, u_n\leq u_{n+1}

B. Pour tout n\leq n_0, u_n\geq u_{n+1}

C. Pour tout n, u_n\geq u_{n+1}

D. Pour tout n, u_n\leq u_{n+1}

Answer: (A)

Explicación

Être croissante à partir de n_0 signifie que, dès ce rang, on a u_n\leq u_{n+1} pour tous les indices concernés. L’inégalité inversée décrit une décroissance.

8. Que signifie qu’une suite est monotone à partir d’un rang n_0 ?

A. Elle est constante à partir de n_0

B. Elle est forcément croissante sur tous les entiers

C. Elle devient soit croissante soit décroissante à partir de n_0

D. Elle alterne nécessairement entre hausse et baisse

Answer: (C)

Explicación

Une suite monotone à partir d’un rang est simplement une suite qui, à partir de n_0, devient croissante ou décroissante. Elle n’a pas besoin d’être monotone avant ce rang.

9. Quelle est la forme d’une suite définie explicitement ?

A. On donne seulement la valeur de u_0

B. On donne directement u_n en fonction de n

C. On donne un terme initial et une relation de récurrence

D. On donne seulement la différence entre deux termes successifs

Answer: (B)

Explicación

Une suite définie explicitement fournit directement l’expression de u_n en fonction de n. On n’a donc pas besoin de calculer les termes un par un par récurrence.

10. Pour la suite définie par u_n=2n+1, quelle est la valeur de u_4 ?

A. 10

B. 8

C. 9

D. 7

Answer: (C)

Explicación

Il suffit de remplacer n par 4 dans l’expression : u_4=2×4+1=9. C’est le principe d’une suite définie explicitement.