Cuestionario: Introduction aux vecteurs et complexes — 20 preguntas

1. Quelle expression donne la définition du produit scalaire de deux vecteurs non nuls en fonction de leurs normes et de l’angle entre eux ?

A. Le produit de leurs normes multiplié par le cosinus de leur angle

B. La somme de leurs coordonnées multipliée par l’angle

C. La différence de leurs normes multipliée par le cosinus de leur angle

D. Le produit de leurs normes multiplié par le sinus de leur angle

Answer: (A)

Explicación

Le produit scalaire se définit par le produit des normes des vecteurs, multiplié par le cosinus de l’angle qui les sépare. Le sinus intervient dans d’autres contextes, mais pas dans cette formule.

2. Que vaut le produit scalaire d’un vecteur avec lui-même ?

A. Zéro

B. Le carré de sa norme

C. Sa norme

D. L’opposé de sa norme

Answer: (B)

Explicación

Pour tout vecteur, le produit scalaire avec lui-même est égal au carré de sa norme. Cela traduit le fait que la longueur est toujours positive ou nulle.

3. Dans un repère orthonormé, quelle formule permet de calculer le produit scalaire de deux vecteurs de coordonnées (x,y) et (x',y') ?

A. x x' - y y'

B. x y' + y x'

C. x x' + y y'

D. x + x' + y + y'

Answer: (C)

Explicación

Dans un repère orthonormé, le produit scalaire se calcule en multipliant les coordonnées correspondantes puis en les additionnant. Les autres expressions correspondent à d’autres opérations, mais pas au produit scalaire.

4. Quel avantage offre la formule du produit scalaire en coordonnées ?

A. Elle impose de connaître le sinus de l’angle

B. Elle évite de calculer l’angle lorsque les coordonnées sont connues

C. Elle ne s’applique qu’aux vecteurs de même longueur

D. Elle remplace la norme par une distance signée

Answer: (B)

Explicación

La formule en coordonnées permet de calculer directement le produit scalaire à partir des composantes, sans déterminer l’angle. C’est précisément son intérêt dans un repère orthonormé.

5. Quand deux vecteurs non nuls sont-ils orthogonaux ?

A. Lorsque leur produit scalaire est positif

B. Lorsque leur produit scalaire est nul

C. Lorsque leurs normes sont égales

D. Lorsque l’un des deux est un vecteur unitaire

Answer: (B)

Explicación

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Une égalité de normes ne suffit pas à conclure à l’orthogonalité.

6. Comment définit-on le projeté orthogonal d’un point sur une droite ?

A. Comme le point de la droite le plus éloigné du point donné

B. Comme le point d’intersection de la droite avec la perpendiculaire passant par ce point

C. Comme l’image du point par une symétrie centrale

D. Comme le milieu du segment reliant le point à la droite

Answer: (B)

Explicación

Le projeté orthogonal est l’intersection de la droite avec la perpendiculaire menée par le point. Cette construction géométrique caractérise précisément la projection orthogonale.

7. Quelle est la dérivée d’une fonction constante ?

A. La constante elle-même

B. Un

C. Zéro

D. L’inverse de la constante

Answer: (C)

Explicación

La dérivée d’une fonction constante est nulle, car la fonction ne varie pas. C’est une règle de base du calcul différentiel.

8. Quelle règle de dérivation s’applique à la fonction $x^n$ ?

A. La dérivée est $n x^{n-1}$

B. La dérivée est $n x^n$

C. La dérivée est $x^{n-1}$

D. La dérivée est $x^{n+1}$

Answer: (A)

Explicación

La dérivée de $x^n$ est $n x^{n-1}$. La puissance baisse d’un degré et le coefficient multiplicatif devient l’exposant initial.

9. Que peut-on conclure si $f'(x)\le 0$ sur un intervalle ?

A. La fonction est décroissante

B. La fonction est constante

C. La fonction admet forcément un maximum

D. La fonction est croissante

Answer: (A)

Explicación

Un signe négatif ou nul de la dérivée indique que la fonction décroît sur l’intervalle. Cela ne suffit pas à affirmer qu’elle est constante.

10. Dans quel cas peut-on affirmer qu’une fonction admet un extremum en un point $c$ ?

A. Lorsque la dérivée s’annule et change de signe en $c$

B. Lorsque la dérivée est positive en $c$

C. Lorsque la fonction est définie en $c$

D. Lorsque la dérivée est égale à 1 en $c$

Answer: (A)

Explicación

Un extremum local apparaît lorsque la dérivée s’annule et change de signe au voisinage du point. Le seul fait que $f'(c)=0$ ne suffit pas toujours.

11. Quelle formule donne le module d’un complexe $z=a+ib$ ?

A. $a^2+b^2$

B. $a+b$

C. $\sqrt{a^2-b^2}$

D. $\sqrt{a^2+b^2}$

Answer: (D)

Explicación

Le module d’un complexe $a+ib$ est la racine carrée de la somme des carrés de ses parties réelle et imaginaire. Il correspond à une distance dans le plan complexe.

12. Quelle propriété du module est correcte pour deux complexes $z_1$ et $z_2$ ?

A. $|z_1 z_2|=|z_1|+|z_2|$

B. $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$

C. $|z_1/z_2|=|z_1|+|z_2|$

D. $|z_1 z_2|=|z_1|\,|z_2|$

Answer: (D)

Explicación

Le module est multiplicatif : le module d’un produit est le produit des modules. Les formules additives proposées ne sont pas vraies en général.

13. Pour quel type de complexe l’argument n’est-il pas défini ?

A. Tout complexe de module 1

B. Le complexe nul

C. Tout complexe à partie imaginaire nulle

D. Tout complexe non nul

Answer: (B)

Explicación

Le complexe nul n’a pas d’argument, car il ne définit aucune direction dans le plan complexe. L’argument est réservé aux complexes non nuls.

14. Que peut-on dire des arguments d’un complexe non nul ?

A. Ils diffèrent de multiples de $2\pi$

B. Ils n’existent qu’en nombre fini

C. Ils sont tous égaux

D. Ils diffèrent de multiples de $\pi/2$

Answer: (A)

Explicación

Un complexe non nul possède une infinité d’arguments qui se déduisent les uns des autres en ajoutant $2\pi k$. Ils représentent tous la même direction.

15. Quelle écriture correspond à la forme trigonométrique d’un complexe non nul ?

A. $z=\cos\theta+i\sin\theta$

B. $z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$

C. $z=|z|\theta$

D. $z=|z|(\cos\theta- i\sin\theta)$

Answer: (B)

Explicación

La forme trigonométrique s’écrit avec le module multipliant $\cos\theta+i\sin\theta$. Elle relie directement le module et l’argument du complexe.

16. Dans l’écriture trigonométrique $z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$, à quoi correspond la partie réelle ?

A. $|z|\sin\theta$

B. $\cos\theta$

C. $\sin\theta$

D. $|z|\cos\theta$

Answer: (D)

Explicación

La partie réelle vaut $|z|\cos\theta$ et la partie imaginaire vaut $|z|\sin\theta$. Cette décomposition permet de retrouver les coordonnées du complexe.

17. Comment calcule-t-on la probabilité de l’événement contraire de $A$ ?

A. $P(A)$

B. $P(A)-1$

C. $1+P(A)$

D. $1-P(A)$

Answer: (D)

Explicación

La probabilité de l’événement contraire est égale à 1 moins la probabilité de l’événement lui-même. C’est une relation fondamentale en probabilités.

18. Que signifie l’indépendance de deux expériences aléatoires ?

A. Le résultat de l’une ne modifie pas la probabilité de l’autre

B. Le résultat de l’une détermine celui de l’autre

C. Leurs probabilités sont toujours égales

D. Elles ne peuvent pas avoir lieu simultanément

Answer: (A)

Explicación

Deux expériences sont indépendantes lorsque le résultat de l’une n’influence pas la probabilité de l’autre. L’indépendance ne veut pas dire que les événements sont impossibles ensemble.

19. Dans un arbre de probabilité, comment calcule-t-on la probabilité d’un chemin ?

A. En prenant la plus grande probabilité du chemin

B. En additionnant les probabilités de toutes les branches

C. En divisant les probabilités successives

D. En multipliant les probabilités le long du chemin

Answer: (D)

Explicación

La règle de calcul sur un chemin consiste à multiplier les probabilités des branches successives. C’est la règle de base de lecture d’un arbre de probabilité.

20. Si un événement correspond à plusieurs chemins distincts dans un arbre de probabilité, comment calcule-t-on sa probabilité ?

A. En prenant la probabilité du premier chemin uniquement

B. En additionnant les probabilités de ces chemins

C. En soustrayant les chemins les uns des autres

D. En multipliant toutes les probabilités de l’arbre

Answer: (B)

Explicación

Quand un événement peut se réaliser par plusieurs chemins distincts, on additionne les probabilités de ces chemins. On ne multiplie que les probabilités à l’intérieur d’un même chemin.