Nombres décimaux ⊂ nombres rationnels ⊂ nombres réels
Explicación
Tous les nombres décimaux sont rationnels, et tous les rationnels sont des réels. L’inclusion correcte est donc décimaux ⊂ rationnels ⊂ réels.
Un nombre irrationnel
Explicación
Un irrationnel est précisément un réel qui ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction d’entiers. Il appartient bien aux réels, mais pas aux rationnels.
0,125
Explicación
Un nombre décimal a une écriture avec un nombre fini de chiffres après la virgule, ce qui est le cas de 0,125. Les autres ont une écriture infinie ou ne sont pas décimaux.
Qu’il est décimal
Explicación
Le cours relie cette propriété à l’existence d’une partie décimale finie, donc à un nombre décimal. Cela ne dit rien sur le signe ni sur le caractère naturel.
x = p/q avec p et q entiers relatifs et q ≠ 0
Explicación
Un rationnel s’écrit comme un quotient de deux entiers relatifs avec un dénominateur non nul. La condition q ≠ 0 est indispensable.
Ils sont stables par addition, soustraction et multiplication
Explicación
L’ensemble des rationnels est stable pour l’addition, la soustraction et la multiplication, et aussi pour la division si le diviseur n’est pas nul. Les autres propositions sont fausses.
On peut toujours avoir x ≤ y ou y ≤ x
Explicación
Sur la droite réelle, l’ordre est total : pour deux réels, l’une des deux relations x ≤ y ou y ≤ x est vraie. Cela permet de les placer et de les comparer.
√2
Explicación
Dans ce cas géométrique, l’hypoténuse vaut √2, qui est irrationnel. Les autres valeurs ne correspondent pas à ce résultat.
Les réels compris entre 3 et 9, avec 3 exclu et 9 inclus
Explicación
La notation ]3;9] signifie que 3 est exclu et 9 est inclus. On y a donc les réels strictement plus grands que 3 et inférieurs ou égaux à 9.
[a; +∞[
Explicación
L’intervalle [a; +∞[ regroupe tous les réels supérieurs ou égaux à a. La borne a est incluse, ce qui se note avec un crochet.
La différence entre le plus grand et le plus petit des deux nombres
Explicación
La distance entre deux réels est l’écart entre eux, donc la différence entre le plus grand et le plus petit. Elle s’écrit aussi |b-a|.
|x| est la distance entre 0 et x
Explicación
La valeur absolue représente la distance entre 0 et le réel considéré. C’est pourquoi elle est toujours positive ou nulle.
[1;7]
Explicación
L’inégalité |x-4|≤3 signifie que x est à une distance au plus 3 de 4, donc x appartient à l’intervalle centré [4−3;4+3]=[1;7].
2<x≤5
Explicación
L’intervalle ]2;5] exclut 2 et inclut 5. Il correspond donc exactement à l’inégalité 2<x≤5.
Quand son écart avec x est inférieur ou égal à 0,01
Explicación
Une approximation à 10^-2 près vérifie |x-a|≤10^-2, donc l’écart maximal est 0,01. Le nombre de chiffres après la virgule ne suffit pas à lui seul.
[a−10^-n ; a+10^-n]
Explicación
Si |x-a|≤10^-n, alors x est compris entre a−10^-n et a+10^-n. C’est exactement l’intervalle fermé [a−10^-n ; a+10^-n].
La solution cherchée est comprise entre ces deux valeurs
Explicación
Un changement de signe indique que la valeur cherchée est encadrée entre les deux décimaux testés. C’est le principe utilisé pour affiner progressivement les décimales.
Parce qu’on teste des valeurs de x^2−2 et qu’on resserre l’intervalle à chaque changement de signe
Explicación
Le procédé consiste à étudier le signe de x^2−2 sur des décimaux de plus en plus proches afin d’encadrer √2. Chaque changement de signe permet de zoomer sur un intervalle plus petit.
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Nombres décimaux — définition ?
Réels avec partie décimale finie.
Nombres rationnels — définition ?
Nombres écrits comme fraction d’entiers avec dénominateur non nul.
Nombres réels — inclusion ?
Incluent rationnels et irrationnels.
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