Cuestionario: Les Relations d’Ordre en Mathématiques — 14 preguntas

1. Quelles propriétés caractérisent une relation d’ordre sur un ensemble ?

A. L’antisymétrie, la commutativité et la connexité

B. La réflexivité, la symétrie et la trichotomie

C. La réflexivité, l’antisymétrie et la transitivité

D. La symétrie, la transitivité et la connexité

Answer: (C)

Explicación

Une relation d’ordre vérifie précisément la réflexivité, l’antisymétrie et la transitivité. La symétrie n’en fait pas partie, car elle contredirait l’antisymétrie sauf dans des cas très particuliers.

2. Dans un ensemble muni d’une relation d’ordre, que signifie la transitivité ?

A. Si a ≤ b, alors b ≤ a

B. Si a ≤ b et b ≤ a, alors a ≤ b

C. Si a ≤ b et b ≤ c, alors a ≤ c

D. Si a ≤ a, alors a ≤ b

Answer: (C)

Explicación

La transitivité exprime qu’un enchaînement d’inégalités se propage : de a ≤ b et b ≤ c, on déduit a ≤ c. La seconde proposition correspond à une symétrie, pas à une transitivité.

3. Quand dit-on qu’un ordre est total ?

A. Lorsque tout couple d’éléments vérifie x = y

B. Lorsque pour tous x et y, on a x ≤ y ou y ≤ x

C. Lorsque toute relation est symétrique

D. Lorsque certains éléments peuvent être incomparables

Answer: (B)

Explicación

Un ordre total impose la connexité : deux éléments quelconques sont toujours comparables. Les éléments incomparables caractérisent au contraire un ordre partiel non total.

4. Quel énoncé décrit correctement un ordre partiel ?

A. Il peut exister des éléments incomparables

B. Tous les éléments sont nécessairement comparables

C. La relation doit être symétrique

D. Chaque couple d’éléments vérifie x ≤ y et y ≤ x

Answer: (A)

Explicación

Dans un ordre partiel, la comparabilité n’est pas exigée pour tous les couples, donc des éléments incomparables peuvent exister. L’option sur la comparabilité totale décrit un ordre total.

5. Qu’est-ce qu’un minorant d’un ensemble A ?

A. Un élément m tel que m ≤ a pour tout a appartenant à A

B. Le plus petit élément de A

C. Un élément m tel que a ≤ m pour tout a appartenant à A

D. Le plus grand élément de A

Answer: (A)

Explicación

Un minorant est inférieur ou égal à tous les éléments de l’ensemble. Il ne faut pas le confondre avec un majorant, qui vérifie l’inégalité dans l’autre sens.

6. Qu’est-ce qu’un majorant d’un ensemble A ?

A. Le plus petit élément de A

B. Un élément M tel que M ≤ a pour tout a appartenant à A

C. Un élément qui appartient forcément à A

D. Un élément M tel que a ≤ M pour tout a appartenant à A

Answer: (D)

Explicación

Un majorant est supérieur ou égal à tous les éléments de A. Il peut exister sans appartenir à A, contrairement à une idée fréquente mais fausse.

7. Quand un ensemble admet-il un maximum ?

A. Lorsqu’il possède un plus petit majorant

B. Lorsqu’il possède un majorant quelconque

C. Lorsqu’il possède un plus grand élément appartenant à l’ensemble

D. Lorsqu’il est non vide

Answer: (C)

Explicación

Le maximum est un élément de l’ensemble qui domine tous les autres. Le plus petit majorant correspond à la borne supérieure, qui n’est pas forcément dans l’ensemble.

8. Que vaut la borne supérieure d’un ensemble lorsqu’il admet un maximum ?

A. Elle est toujours extérieure à l’ensemble

B. Elle est égale à ce minimum

C. Elle est égale à ce maximum

D. Elle n’existe pas forcément

Answer: (C)

Explicación

Si un ensemble possède un maximum, alors ce maximum est automatiquement son plus petit majorant, donc sa borne supérieure. Le minimum ne joue pas ce rôle.

9. Comment définit-on la borne supérieure d’un ensemble A ?

A. Comme le plus grand minorant de A

B. Comme le plus grand élément de A

C. Comme un majorant quelconque de A

D. Comme le plus petit majorant de A

Answer: (D)

Explicación

La borne supérieure est le plus petit des majorants. À l’inverse, la borne inférieure est le plus grand des minorants.

10. Que peut-on affirmer si un ensemble admet à la fois une borne inférieure et une borne supérieure ?

A. Sa borne inférieure est supérieure à sa borne supérieure

B. Il ne peut pas être borné

C. Ses bornes sont nécessairement égales

D. Sa borne inférieure est inférieure ou égale à sa borne supérieure

Answer: (D)

Explicación

Lorsqu’elles existent toutes deux, on a inf(A) ≤ sup(A). Les bornes ne sont pas forcément égales, sauf dans des cas particuliers.

11. Quelle propriété de l’ordre sur les réels est stable pour tout ajout d’un même réel ?

A. La compatibilité avec la multiplication par un nombre négatif

B. La symétrie

C. La connexité

D. La compatibilité avec l’addition

Answer: (D)

Explicación

Si a ≤ b, alors a + c ≤ b + c pour tout réel c. La multiplication n’est compatible avec l’ordre que sous condition de positivité du facteur.

12. Dans les réels, que signifie l’écriture x ≥ y ?

A. Elle signifie x ≤ y

B. Elle signifie y ≤ x

C. Elle signifie x = y

D. Elle signifie x et y sont incomparables

Answer: (B)

Explicación

La relation ≥ est définie comme la relation inverse de ≤ : x ≥ y équivaut à y ≤ x. C’est une simple reformulation de l’ordre.

13. Comment définit-on la partie entière de x ?

A. Comme l’unique entier n tel que n ≤ x < n + 1

B. Comme l’unique entier n tel que n < x ≤ n + 1

C. Comme le plus petit réel supérieur à x

D. Comme le plus grand réel inférieur à x

Answer: (A)

Explicación

La partie entière est l’unique entier relatif placé juste en dessous de x, avec l’encadrement n ≤ x < n + 1. Cette caractérisation garantit son unicité.

14. Que signifie qu’une partie A de R est dense dans R ?

A. A est bornée inférieurement et supérieurement

B. A contient tous les réels

C. Entre deux réels distincts, on trouve toujours un élément de A

D. A est forcément un intervalle

Answer: (C)

Explicación

La densité signifie qu’aucun intervalle réel non trivial n’échappe à A : entre deux réels distincts, il y a toujours un élément de A. Cela n’implique ni que A contienne tous les réels ni qu’il soit borné.