Hoja de repaso: Maîtrise des équations et fonctions du second degré

📋 Plan du Cours

1. Équations du second degré
2. Fonctions du second degré
3. Forme canonique et transformations
4. Signe, inéquations et domaines
5. Problèmes d’intersections
6. Applications géométriques et modélisation

📖 1. Équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Une équation du second degré est une équation mise sous la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$, où $a$ est le coefficient de $x^2$, $b$ celui de $x$ et $c$ le terme indépendant.
• Discriminant : Le discriminant d’une équation $ax^2+bx+c=0$ est le nombre $\Delta=b^2-4ac$, qui détermine le nombre et le type de solutions réelles.
• Équation fractionnaire : Une équation fractionnaire est une équation où l’expression contient des fractions, donc des valeurs de $x$ sont interdites car elles rendent un dénominateur nul.

📝 Points essentiels

• Méthode du discriminant : pour $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$, on calcule $\Delta=b^2-4ac$ puis on conclut selon le signe de $\Delta$.
• Si $\Delta<0$ alors l’équation n’admet aucune solution réelle.
• Si $\Delta=0$ alors l’équation admet une unique solution $x=-\dfrac{b}{2a}$.
• Si $\Delta>0$ alors l’équation admet deux solutions $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Δ = b² − 4ac : Δ<0 zéro solution, Δ=0 une seule, Δ>0 deux.

📖 2. Fonctions du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction du second degré : Une fonction du second degré est une fonction associée à la référence $f(x)=x^2$, obtenue par translations et étirements/compressions qui modifient le graphique en une parabole.
• Forme canonique : Une forme canonique de fonction du second degré met en évidence un sommet et s’écrit sous la forme f(x)=a(x-4)2+2, ce qui facilite la lecture graphique.
• Forme développée : Une forme développée (générale) d’une fonction du second degré est un polynôme $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$ commande la forme de la parabole et $c$ fixe l’ordonnée à l’origine.

📝 Points essentiels

• Si $f(x)=ax^2+bx+c$, l’ordonnée à l’origine vaut $f(0)=c$.
• Si $f(x)=ax^2+bx+c$ avec =4 et  défini par =b^2-4ac, alors l’axe de symétrie est $x=-\frac{b}{2a}$ et le sommet est $S\left(-\frac{b}{2a}\,;\,-\frac{\Delta}{4a}\right)$.
• La concavité d’une parabole donnée par une fonction du second degré dépend du signe de $a$ : $a>0$ donne une ouverture vers le haut et $a<0$ vers le bas.
• En utilisant la forme canonique, le sommet se lit directement comme point de changement de sens (maximum si $a<0$, minimum si $a>0$).

💡 Astuce mémo

Axe et ordonnée du sommet : axe $=-\frac{b}{2a}$, hauteur $=-\frac{\Delta}{4a}$, et $f(0)=c$.

📖 3. Forme canonique et transformations

🔑 Notions clés & Définitions

• Passage factorisée vers canonique : Passer en forme canonique consiste à transformer $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ en $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ grâce à $\alpha=\frac{x_1+x_2}{2}$ puis $\beta=f(\alpha)$.
• Passage canonique vers factorisée : Passer en forme factorisée consiste à partir de $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, calculer les zéros en résolvant $f(x)=0$, puis écrire la décomposition par les racines trouvées.

📝 Points essentiels

• Si $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, alors l’axe de symétrie a pour équation $x=\alpha$ avec $\alpha=\frac{x_1+x_2}{2}$ et le sommet est $S(\alpha,\beta)$ avec $\beta=f(\alpha)$.
• Pour obtenir la forme factorisée à partir de la forme canonique, on écrit $f(x)=0$ puis on factorise selon les zéros réels obtenus.
• Si la résolution de $f(x)=0$ est impossible dans $\mathbb R$ (pas de zéros réels), la fonction n’a pas de forme factorisée dans ce cadre.

💡 Astuce mémo

Zéros → factorisée ; milieu des zéros → axe ($\alpha=\frac{x_1+x_2}{2}$) ; hauteur au milieu → $\beta=f(\alpha)$.

📖 4. Signe, inéquations et domaines

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de signes : Un tableau de signes répertorie le signe d’une expression en fonction des valeurs de $x$, en découpant la droite réelle par les zéros.
• Inéquation du second degré : Une inéquation du second degré est une condition sur une fonction quadratique, résolue en construisant le tableau de signes à partir des zéros.
• Domaine de définition : Le domaine de définition est l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles l’expression de la fonction est calculable, en particulier sous contraintes comme une racine carrée.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une inéquation, on identifie d’abord les zéros de l’expression, puis on déduit le signe sur chaque intervalle via le tableau de signes et on garde ceux imposés par l’inégalité.
• Pour une inéquation du second degré $f(x)\ge 0$ ou $f(x)<0$, le nombre et les abscisses des zéros dépendent du discriminant $\Delta=b^2-4ac$ : deux zéros si $\Delta>0$, un seul si $\Delta=0$, aucun si $\Delta<0$.
• Pour une inéquation produit du type $\text{(facteurs)}\;<0$ ou $\ge 0$, on crée un tableau de signes avec autant de lignes que de facteurs, puis on lit le signe du produit sur la dernière ligne et on retient les parties compatibles.
• Pour une fonction avec racine carrée $\sqrt{\text{radicande}}$, le domaine exige que la radicande soit $\ge 0$ (et on exclut les valeurs qui rendent l’expression impossible).

💡 Astuce mémo

Zéros = frontières : tu signes entre deux zéros, puis tu gardes uniquement les intervalles qui respectent le symbole de l’inéquation.

📖 5. Problèmes d’intersections

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection de deux courbes : Deux courbes d’équations $y=f(x)$ et $y=g(x)$ se coupent quand elles ont la même ordonnée pour un même $x$.
• Méthode graphique : Résoudre $f(x)=g(x)$ revient à relever les abscisses des points où les courbes $y=f(x)$ et $y=g(x)$ se croisent.
• Méthode algébrique : Résoudre $f(x)=g(x)$ revient à chercher les $x$ qui annulent l’expression $f(x)-g(x)$.

📝 Points essentiels

• Résoudre $f(x)=g(x)$ équivaut à résoudre le système $\{y=f(x)\; ,\; y=g(x)\}$, donc à trouver les abscisses des points d’intersection.
• Quand on égalise une parabole et une droite (ou deux paraboles), l’équation obtenue est du second degré et ses solutions donnent directement les abscisses des points d’intersection.
• Pour une intersection cercle–droite, on écrit un système puis on substitue l’équation de la droite dans celle du cercle pour obtenir une équation du second degré en $x$.
• Exemple cercle $(x-2)^2+(y-3)^2=5$ et droite $y=-x+4$ : après substitution on obtient $x=0$ ou $x=3$, donnant les points $P_1(0;4)$ et $P_2(3;1)$.

💡 Astuce mémo

Graphique = même ordonnée, Algèbre = $f-g=0$, Cercle–droite = substitution dans le cercle.

📖 6. Applications géométriques et modélisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection de courbes : Deux courbes se coupent quand leurs expressions ont la même valeur pour une même abscisse, ce qui donne les coordonnées des points d’intersection.
• Parabole comme lieu géométrique : Une parabole est l’ensemble des points qui sont à égale distance d’un foyer fixe et d’une directrice fixe.
• Modélisation par fonction quadratique : Un phénomène physique peut être décrit par une hauteur ou une distance fonction du temps via une expression du second degré.

📝 Points essentiels

• Résoudre l’équation $f(x)=g(x)$ par approche graphique revient à trouver les abscisses des points d’intersection des courbes $y=f(x)$ et $y=g(x)$.
• Par approche algébrique, résoudre $f(x)=g(x)$ se ramène à $f(x)-g(x)=0$, ce qui devient une équation du second degré quand $f$ et $g$ sont de degré ≤2.
• Pour l’intersection entre un cercle et une droite, on forme un système (droite explicite + cercle implicite) puis on substitue la droite dans l’équation du cercle pour obtenir une équation du second degré en $x$.
• Dans une modélisation quadratique (hauteur en fonction du temps), les événements demandés s’obtiennent en imposant une valeur à la fonction, par exemple $h(t)=0$ pour toucher le sol.

💡 Astuce mémo

Intersection : Graphique = mêmes ordonnées (points de croisement) ; Algébrique = $f-g=0$ ; Cercle-droite = système puis substitution pour retomber sur un second degré.

📊 Tableaux de synthèse

Résumé sur les 3 formes (forme canonique, factorisée, développée)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’équation du second degré avec une fonction du second degré : pour une équation on résout f(x)=0, pour une fonction on lit caractéristiques sur f(x).
2. Oublier la condition d’existence dans une équation fractionnaire : les dénominateurs ne doivent pas être nuls, donc on exclut ces valeurs de x.
3. Se tromper de cas avec le discriminant : Δ<0 donne aucune solution réelle, Δ=0 une seule, Δ>0 deux solutions (avec ±√Δ).
4. En forme canonique, inverser la concavité : c’est le coefficient de (x−α)² qui donne ∪ si a>0 et ∩ si a<0.
5. Utiliser un mauvais axe de symétrie : pour f(x)=ax²+bx+c, l’axe est x=−b/(2a) (pas −b/a).
6. Passer factorisée → factorisée/canonique sans les bonnes formules : α=(x1+x2)/2 et β=f(α) pour passer à la canonique.
7. Penser qu’une fonction sans zéros n’a pas de forme factorisée : la source dit au contraire que la factorisation n’existe ici que si des zéros réels sont calculables (donc pas de factorisée dans R si Δ<0).

✅ Checklist Examen

1. Écrire sous forme ax²+bx+c=0 (avec a≠0), traiter les cas simples (b=0 ou c=0) et conclure avec les méthodes indiquées.
2. Pour une équation générale, calculer Δ=b²−4ac et donner le nombre de solutions selon le signe de Δ, puis les formules de x1,x2 si Δ≥0.
3. Pour des équations nécessitant factorisation, d’abord simplifier (produits remarquables/ binômes conjugués/ factorisation-développement) avant d’appliquer la méthode la plus efficace.
4. Pour une équation fractionnaire, lister les conditions d’existence (dénominateurs ≠0), puis résoudre en tenant compte des exclusions.
5. Pour une fonction du second degré, déterminer ordonnée à l’origine (c pour f(x)=ax²+bx+c), concavité (signe de a) et type du sommet.
6. Pour la forme canonique, trouver l’axe (x=α), le sommet S(α;β) et calculer les zéros en imposant f(x)=0.
7. Pour la forme factorisée, obtenir les zéros par f(x)=0 avec loi du produit nul, dresser le tableau de signes, puis calculer axe/sommet via α=(x1+x2)/2 et β=f(α).
8. Pour la forme développée, calculer Δ si nécessaire, puis l’axe x=−b/(2a) et β=−Δ/(4a), et relier tout cela à la construction du tableau de variations.
9. Pour tracer une fonction à partir d’une forme donnée, suivre l’enchaînement : domaine, forme, ordonnée à l’origine, Δ (si développée), sommet+axe, variations, concavité, zéros, signes, puis placer les points.
10. Pour résoudre une inéquation, calculer/identifier les zéros, construire le tableau de signes et retenir uniquement les intervalles compatibles avec le symbole (≥, >, <, ≤).
11. Pour des intersections, résoudre f(x)=g(x) (graphique : mêmes ordonnées ; algébrique : f−g=0) et, pour cercle–droite, résoudre le système par substitution.
12. Pour modéliser un phénomène quadratique, traduire la question par une condition sur la fonction (ex : toucher le sol h(t)=0 ; atteinte d’un maximum via la forme/variations) puis résoudre avec les méthodes précédentes.