Hoja de repaso: Nombres complexes et transformations

📋 Plan du Cours

1. Formes et racines complexes
2. Interprétation géométrique
3. Formule de Moivre
4. Équation du second degré complexe
5. Transformations du plan

📖 1. Formes et racines complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme algébrique : Un nombre complexe s’écrit sous la forme $z=a+ib$, où $a$ et $b$ sont des réels et où $i^2=-1$.
• Forme trigonométrique : Un nombre complexe s’écrit sous la forme $z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$, où $\rho=|z|$ est son module et $\theta=\operatorname{Arg}(z)$ est un argument.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour $z=a+ib$, le module vérifie $|z|=\rho=\sqrt{a^2+b^2}$.

📌 Deux nombres complexes $a+ib$ et $a'+ib'$ sont égaux si et seulement si $a=a'$ et $b=b'$.

• Si $Z=R(\cos\alpha+i\sin\alpha)$ est non nul, ses $n$ racines n-ièmes sont $z_k=\sqrt[n]{R}\left(\cos\frac{\alpha+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)$ pour $0\leq k\leq n-1$.

💡 Astuce mémo

Algébrique → trigonométrique → polaire

📖 2. Interprétation géométrique

★ À maîtriser

• Si les points $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A$ et $z_B$, alors l’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $z_B-z_A$ et l’affixe du milieu de $[AB]$ est $\frac{z_A+z_B}{2}$.

📌 Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ est réel.

📌 Les droites $AB$ et $AC$ sont orthogonales si et seulement si $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ est un imaginaire pur.

• L’ensemble des points $M$ vérifiant $|z_M-z_A|=R$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $R$.

Compléments

• L’ensemble des points $M$ vérifiant $|z_M-z_A|=|z_M-z_B|$ est la médiatrice du segment $[AB]$.

• La condition $\operatorname{Arg}\left(\frac{z_M-z_A}{z_M-z_B}\right)=k\pi$ caractérise la droite $(AB)$ privée de $B$, tandis que la condition $\operatorname{Arg}\left(\frac{z_M-z_A}{z_M-z_B}\right)=\frac{\pi}{2}+k\pi$ caractérise le cercle de diamètre $AB$ privé de $B$.

💡 Astuce mémo

Module = distance ; argument = angle

📖 3. Formule de Moivre

📝 Points essentiels

📐 Formule — La formule de Moivre est $\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$.

📌 Un nombre complexe non nul est réel si et seulement si son argument est de la forme $k\pi$.

📌 Un nombre complexe non nul est imaginaire pur si et seulement si son argument est de la forme $\frac{\pi}{2}+k\pi$.

📖 4. Équation du second degré complexe

📝 Points essentiels

• Pour résoudre l’équation du second degré complexe présentée sous la forme $a+ib=x+iy$, on identifie les parties réelle et imaginaire et on obtient le système $a=x$ et $b=y$.

📖 5. Transformations du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformation plane : Associe à tout point $M$ du plan un unique point image $M'=f(M)$; un point $M$ est invariant si $f(M)=M$.
• Translation : De vecteur $\vec v$ transforme $M$ en $M'$ tel que $\overrightarrow{MM'}=\vec v$.
• Homothétie : De centre $\Omega$ et de rapport $k$ a pour expression complexe $z'=kz+(1-k)\omega$, où $\omega$ est l’affixe de $\Omega$.
• Rotation : De centre $\Omega$ et d’angle $\theta$ a pour expression complexe $z'=e^{i\theta}z+(1-e^{i\theta})\omega$, avec $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.
• Similitude directe : De centre $\Omega$, de rapport $k$ et d’angle $\theta$ est la composée d’une homothétie et d’une rotation, avec l’expression $z'=ke^{i\theta}z+(1-ke^{i\theta})\omega$.

📝 Points essentiels

• Une translation de vecteur non nul n’a aucun point invariant, sa composée avec une translation de vecteur $\vec u$ est la translation de vecteur $\vec u+\vec v$, et son inverse est la translation de vecteur $-\vec v$.

💡 Astuce mémo

Translation → homothétie → rotation → similitude

📊 Tableaux de synthèse

Transformations planes

Transformation	Paramètres	Point invariant
Translation	Vecteur $\vec v$	Aucun si $\vec v\ne0$
Homothétie	Centre $\Omega$, rapport $k$	$\Omega$ si $k\ne1$
Rotation	Centre $\Omega$, angle $\theta$	$\Omega$ si $\theta\notin2\pi\mathbb Z$
Similitude directe	Centre $\Omega$, rapport $k$, angle $\theta$	$\Omega$