Hoja de repaso: Nombres complexes I

📋 Plan du Cours

1. Construction des nombres complexes
2. Forme algébrique et égalité
3. Somme produit et quotient
4. Équations du second degré
5. Affixes et opérations géométriques
6. Conjugué et module
7. Exponentielle complexe
8. Formes trigonométrique et exponentielle

📖 1. Construction des nombres complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : Un nombre complexe est un élément de l’ensemble C construit à partir de couples de réels, muni d’une addition et d’une multiplication prolongeant celles de R.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour les couples réels, l’addition et la multiplication sont définies par $(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b')$ et $(a,b)(a',b')=(aa'-bb',ab'+a'b).$

• En posant $i=(0{,}1)$, on obtient $i^2=-1$ et tout couple (a,b) s’écrit sous la forme a+ib.

Compléments

📌 L’addition et la multiplication des nombres complexes sont commutatives, associatives et distributives.

💡 Astuce mémo

Le plan réel R² devient un plan complexe où (a,b) se lit a+ib.

📖 2. Forme algébrique et égalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme algébrique : a+ib, où a et b sont réels.
• Partie réelle : a et se note Re(z).
• Partie imaginaire : b et se note Im(z).

📝 Points essentiels

📌 Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales.

💡 Astuce mémo

Partie réelle sur l’axe horizontal, partie imaginaire sur l’axe vertical.

📖 3. Somme produit et quotient

🔑 Notions clés & Définitions

• Quotient : Pour z complexe et z' complexe non nul, le quotient de z par z' est défini par $\frac{z}{z'}=z\times\frac{1}{z'}.$

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour z=a+ib, son opposé est $-z=-a-ib$ et la différence est définie par $z_1-z_2=z_1+(-z_2).$

📐 Formule — Pour z=a+ib non nul, son inverse est $\frac{1}{z}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}.$

Compléments

📌 Le produit de deux nombres complexes est nul si et seulement si l’un des deux nombres est nul.

💡 Astuce mémo

Additionner, opposer, inverser, puis diviser.

📖 4. Équations du second degré

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour $az^2+bz+c=0$ avec a≠0, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac.$

📌 Si Δ>0, l’équation du second degré possède deux solutions réelles $z_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.$

📌 Si Δ=0, l’équation possède une solution réelle double $z_1=-\frac{b}{2a}$ et le trinôme se factorise en $a(z-z_1)^2.$

📌 Si Δ<0, l’équation possède deux solutions complexes conjuguées $z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}.$

💡 Astuce mémo

Δ positif donne deux réels, Δ nul une racine double, Δ négatif deux complexes conjugués.

📖 5. Affixes et opérations géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Affixe : L’affixe du point M(x,y) ou du vecteur de coordonnées (x,y) est le nombre complexe z=x+iy.

★ À maîtriser

📌 Un point appartient à l’axe des abscisses si et seulement si son affixe est réel, et il appartient à l’axe des ordonnées si et seulement si son affixe est un imaginaire pur.

📌 Si M et M' ont pour affixes z et z', alors le vecteur MM' a pour affixe z'-z.

Compléments

📌 La somme des vecteurs OM et OM' a pour affixe z+z'.

💡 Astuce mémo

Les affixes placent les complexes comme des points et des vecteurs dans le plan.

📖 6. Conjugué et module

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué : Le conjugué de z=a+ib est le nombre complexe noté \overline z=a-ib.

📝 Points essentiels

📌 Dans le plan complexe, le conjugué d’un nombre est l’affixe du symétrique de son point par rapport à l’axe des abscisses.

📐 Formule — Pour tout z, $|z|^2=z\overline z$ et, si z≠0, $\frac1z=\frac{\overline z}{|z|^2}.$

📐 Formule — Pour tout z et z', $|zz'|=|z||z'|$ et l’inégalité triangulaire est $|z+z'|\leq |z|+|z'|.$

💡 Astuce mémo

Le conjugué réfléchit par rapport à l’axe réel, tandis que le module mesure la distance à l’origine.

📖 7. Exponentielle complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Exponentielle complexe : Pour tout réel θ, l’exponentielle complexe est définie par $e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta).$

★ À maîtriser

📌 Un nombre complexe est de module 1 si et seulement s’il existe θ réel tel que z=e^{iθ}.

📐 Formule — Pour tous réels α et β, $e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta}$ et, pour tout entier n, $(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}.$

Compléments

📐 Formule — Les formules d’Euler sont $\cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2$ et $\sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.$

💡 Astuce mémo

eiθ est le point du cercle unité atteint après une rotation d’angle θ.

📖 8. Formes trigonométrique et exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme exponentielle : Pour tout z non nul, il existe un réel θ tel que z=|z|e^{iθ}; cette écriture est la forme exponentielle de z.
• Argument : Si z=|z|e^{iθ} avec z non nul, θ est un argument de z et l’argument est défini modulo 2π.

★ À maîtriser

📐 Formule — La forme trigonométrique d’un complexe non nul est $z=|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta)).$

📐 Formule — Pour z et z' non nuls, $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')\ [2\pi]$ et $\arg\left(\frac z{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')\ [2\pi].$

Compléments

• Pour calculer une puissance complexe non nulle, on met d’abord le nombre sous forme exponentielle, on élève le module à la puissance et on multiplie l’argument par cette puissance.

💡 Astuce mémo

Module puis argument : z=|z|eiθ, puis produits, puissances et racines.

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant

Condition	Solutions	Factorisation
Δ>0	Deux solutions réelles	a(z-z₁)(z-z₂)
Δ=0	Une solution réelle double	a(z-z₁)²
Δ<0	Deux solutions complexes conjuguées	a(z-z₁)(z-z₂)