Hoja de repaso: Nombres, inégalités et fonctions

📋 Plan du Cours

1. Comparer des nombres réels
2. Encadrer et comparer
3. Ensembles de nombres
4. Puissances et propriétés
5. Divisibilité et nombres premiers
6. Développement et factorisation
7. Variations des fonctions

📖 1. Comparer des nombres réels

★ À maîtriser

📌 Si a < b, ajouter ou soustraire un même nombre c aux deux membres conserve l'ordre : a + c < b + c.

📌 Si a < b et c > 0, multiplier ou diviser les deux membres par c conserve l'ordre.

📌 Si a < b et c < 0, multiplier ou diviser les deux membres par c inverse l'ordre : ac > bc.

Compléments

📌 Si a > 1, alors a^3 > a^2 > a, tandis que si 0 < a < 1, alors a^3 < a^2 < a.

📖 2. Encadrer et comparer

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement : Encadrer un nombre z consiste à trouver deux nombres a et b tels que a < z < b.

★ À maîtriser

📌 Si a − b < 0, alors a < b, et si a − b > 0, alors a > b.

Compléments

📌 Si a < b < c, alors a < c ; cette propriété permet de comparer deux nombres grâce à un nombre intermédiaire.

📖 3. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Les nombres entiers positifs ; 0 et 17 appartiennent à N, tandis que −3 n'y appartient pas.
• Entiers relatifs : Les nombres entiers positifs et négatifs ; −6 et 5 appartiennent à Z, tandis que 3/2 n'y appartient pas.
• Nombres décimaux : Les nombres qui s'écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule ; 1,4 et 5/4 appartiennent à D, tandis que 1/3 n'y appartient pas.
• Nombres rationnels : Les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction p/q avec p entier et q entier non nul.
• Nombres réels : L'ensemble des nombres réels, noté R, regroupe tous les nombres, notamment √2, π et les nombres représentés sur une droite graduée.

📝 Points essentiels

• Les ensembles de nombres sont inclus selon la chaîne N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

📖 4. Puissances et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière : Pour un réel a et un entier naturel n, a^n est le produit de n facteurs égaux à a ; par convention, si a ≠ 0, a^0 = 1.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le produit de deux puissances de même base vérifie $a^n \times a^p = a^{n+p}$.

• Les expressions (−a)^n et −a^n ne se confondent pas: dans la première, le signe moins est inclus dans la base, tandis que dans la seconde la puissance porte seulement sur a

Compléments

📐 Formule — Le quotient de deux puissances de même base vérifie $\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$.

📐 Formule — Les propriétés des puissances incluent $\left(a^n\right)^p=a^{np}$, $(ab)^n=a^n b^n$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

📖 5. Divisibilité et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Un nombre a est divisible par d lorsque la division de a par d donne un quotient entier exact, sans reste ; d est alors un diviseur de a et a est un multiple de d.
• Nombre premier : Un entier supérieur ou égal à 2 qui n'admet aucun diviseur autre que 1 et lui-même.

📝 Points essentiels

• Tout entier supérieur ou égal à 2 est le produit de nombres premiers.

📖 6. Développement et factorisation

📝 Points essentiels

📐 Formule — La distributivité permet de développer ou de factoriser selon le sens : $a(b+c)=ab+ac$.

📐 Formule — La première identité remarquable est $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

📐 Formule — La deuxième identité remarquable est $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

📐 Formule — La troisième identité remarquable est $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

📖 7. Variations des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Une fonction f définie sur I est croissante si, pour tous x1 et x2 de I tels que x1 < x2, on a f(x1) ≤ f(x2).
• Fonction décroissante : Une fonction f définie sur I est décroissante si, pour tous x1 et x2 de I tels que x1 < x2, on a f(x1) ≥ f(x2).
• Minimum d'une fonction : f(a) est le minimum de f sur I si, pour tout x de I, f(x) ≥ f(a).
• Maximum d'une fonction : f(a) est le maximum de f sur I si, pour tout x de I, f(x) ≤ f(a).
• Fonction constante : Une fonction f est constante sur I s'il existe un réel k tel que, pour tout réel x de I, f(x) = k.

★ À maîtriser

• Pour une fonction affine f(x)=ax+b définie sur R, a>0 implique une croissance stricte, a<0 une décroissance stricte et a=0 une fonction constante.

Compléments

• Un tableau de variations représente le sens de variation d'une fonction avec une flèche montante pour la croissance et une flèche descendante pour la décroissance.

💡 Astuce mémo

Coefficient positif : croissance ; négatif : décroissance

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles numériques

Ensemble	Propriété	Exemple cité
N	Entiers naturels	0, 17
Z	Entiers positifs et négatifs	−6, 5
D	Écriture décimale finie	1,4
Q	Fraction d'entiers	3/5
R	Tous les nombres	√2, π